Suponha uma população com N elementos. Vimos que se extrairmos uma amostra de tamanho n, com reposição, e calcularmos a média amostral \bar{X}, então E(\bar{X})=\mu e \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^{2} / n, onde \mu e \sigma^{2} são a média e a variância da população, respectivamente. No entanto, se a amostragem for feita sem reposição, então E(\bar{X})=\mu continua a valer, mas
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n} \frac{N-n}{N-1}
O fator (N-n) /(N-1) é chamado fator de correção para populações finitas. Note que se n for muito menor que N, então esse fator é aproximadamente igual a um, e amostras com ou sem reposição são praticamente equivalentes. Considere, agora, uma populaão P=\{1,3,5,5,7\}, logo N=5. Retire amostras de tamanho n=2, sem reposição, e construa a distribuição amostral de \bar{X}=\left(X_{1}+X_{2}\right) / 2. Obtenha E(\bar{X}) e \operatorname{Var}(\bar{X}) e verifique que esta é dada pela fórmula acima.

Passo 1

O enunciado pede para extrair todas as amostras de tamanho n=2 sem reposição da população \;P=\{1,3,5,5,7\} com N=5, construir a distribuição de \bar{X}=(X_{1}+X_{2})/2 e calcular E(\bar{X}) e \Var(\bar{X}), verificando que
\Var(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\,\frac{N-n}{N-1}.
Vamos usar conceitos de distribuição amostral e fator de correção para populações finitas.

Passo 2

Calcular a média \mu e a variância \sigma^{2} da população. A média é
\mu = \frac{1+3+5+5+7}{5} = \frac{21}{5} = 4,2.
A variância é
\sigma^{2}=\frac{(1-\mu)^{2}+(3-\mu)^{2}+(5-\mu)^{2}+(5-\mu)^{2}+(7-\mu)^{2}}{5}.
Substituindo \mu=4,2:
\sigma^{2}=\frac{10,24 + 1,44 + 0,64 + 0,64 + 7,84}{5} = \frac{20,8}{5} = 4,16.

Passo 3

Listar as \binom{5}{2}=10 amostras sem reposição e calcular cada média:
(1,3) \to2; (1,5) \to3 ocorre duas vezes; (1,7) \to4; (3,5) \to4 ocorre duas vezes; (3,7) \to5; (5,5) \to5; (5,7) \to6 ocorre duas vezes.
Logo a distribuição de \bar{X} é: \bar{X}=2 com p=1/10, \bar{X}=3 com p=2/10, \bar{X}=4 com p=3/10, \bar{X}=5 com p=2/10, \bar{X}=6 com p=2/10.

Passo 4

Calcular E(\bar{X}) e \Var(\bar{X}).
E(\bar{X}) =2\cdot\frac{1}{10} +3\cdot\frac{2}{10} +4\cdot\frac{3}{10} +5\cdot\frac{2}{10} +6\cdot\frac{2}{10} =4,2.
E(\bar{X}^{2}) =2^{2}\cdot\frac{1}{10} +3^{2}\cdot\frac{2}{10} +4^{2}\cdot\frac{3}{10} +5^{2}\cdot\frac{2}{10} +6^{2}\cdot\frac{2}{10} =19,2,
\Var(\bar{X}) =E(\bar{X}^{2})-[E(\bar{X})]^{2} =19,2-4,2^{2} =19,2-17,64 =1,56.

Passo 5

Verificar a fórmula com fator de correção:
\frac{\sigma^{2}}{n}\,\frac{N-n}{N-1} =\frac{4,16}{2}\,\frac{5-2}{5-1} =2,08\cdot\frac{3}{4} =1,56,
confirmando o valor de \Var(\bar{X}) obtido.

Resposta

E(\bar{X})=4,2 \Var(\bar{X})=1,56

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