2-) Seja uma escala tal que 15^{\circ} \mathrm{C} valem 100^{\circ} \mathrm{X} e 25^{\circ} \mathrm{C} valem 125^{\circ} \mathrm{X}. Econtre
a) 500^{\circ} \mathrm{X} \mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C}
b) O ponto em que ambas as temperaturas são iguais.

Passo 1

O enunciado descreve uma escala linear entre Celsius e uma nova escala X, em que temos dois pontos conhecidos:
(15^\circ\mathrm{C},100^\circ\mathrm{X})
e
(25^\circ\mathrm{C},125^\circ\mathrm{X}).
O conteúdo é “relação afim” (reta) entre duas unidades. Para resolver, vamos ajustar X = a\,C + b e depois inverter essa relação.

Passo 2

Assumimos a forma geral
X = a\,C + b,
e usamos os dois pares dados para montar o sistema:
\begin{cases} 100 = a\cdot15 + b,\\\\ 125 = a\cdot25 + b. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
125 - 100 = a\,(25 - 15) \quad\Longrightarrow\quad 25 = 10\,a \quad\Longrightarrow\quad a = 2{,}5.
Em seguida,
b = 100 - 2{,}5\cdot15 = 100 - 37{,}5 = 62{,}5.
Logo a relação direta é
X = 2{,}5\,C + 62{,}5.

Passo 4

Invertemos para obter Celsius em função de X:
C = \frac{X - 62{,}5}{2{,}5} = 0{,}4\,X - 25.

Passo 5

(a) Para 500^\circ\mathrm{X} em Celsius:
C = 0{,}4 \times 500 - 25 = 200 - 25 = 175.
Portanto 500^\circ\mathrm{X} corresponde a 175^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

(b) No ponto em que as temperaturas coincidem, C = X. Substituindo em X = 2{,}5\,C + 62{,}5 com X=C:
C = 2{,}5\,C + 62{,}5 \quad\Longrightarrow\quad -1{,}5\,C = 62{,}5 \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{62{,}5}{1{,}5} = -\frac{125}{3}\approx -41{,}67.
Então esse é o valor em ambas as escalas.

Resposta

a) 175^\circ\mathrm{C}
b) -\tfrac{125}{3}^\circ\mathrm{C} (aprox. -41{,}67^\circ\mathrm{C}), que é igual em ^\circ\mathrm{X}.

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