Seja o escoamento de um fluido de densidade \rho=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} definido pelo campo de velocidades \mathbf{v}(x, y, z)=y^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+3 x y^{2} z^{2} \mathbf{k} \mathrm{~ms}^{-1}.
Qual a taxa de acumulação por unidade de volume no ponto (1,1,1) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Densidade do fluido: \rho=1\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • Campo de velocidades: \mathbf{v}(x,y,z)=y^{2}z^{3}\,\mathbf{i}+2xyz^{3}\,\mathbf{j}+3xy^{2}z^{2}\,\mathbf{k} (em \mathrm{m\,s^{-1}}).
  • Ponto onde queremos a taxa: (1,1,1).
O que a questão pede: a “taxa de acumulação por unidade de volume” no ponto (1,1,1). Em termos físicos isso corresponde à variação temporal da densidade por unidade de volume nesse ponto, isto é \partial \rho/\partial t em (1,1,1). Vou calcular esse valor.

Passo 2

Fórmula que liga densidade e velocidade (equação da continuidade, conservação de massa):
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v})=0.
Explicando: \partial \rho/\partial t é a taxa de acumulação de massa por unidade de volume (o que pedimos). O termo \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v}) é a divergência do fluxo de massa; quando a divergência é positiva há saída líquida de massa do volume, então a densidade diminui (sinal negativo em \partial\rho/\partial t), e vice-versa.
Rearranjando:
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\,\nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v}).

Passo 3

Como a densidade é constante espacialmente e igual a \rho=1, podemos passar \rho para fora da divergência:
\nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v})=\rho\,\nabla\cdot\mathbf{v}.
Portanto
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{v}.
Agora calculamos a divergência do campo de velocidades. Definindo componentes:
v_x=y^{2}z^{3},\qquad v_y=2xyz^{3},\qquad v_z=3xy^{2}z^{2}.
A divergência é
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.

Passo 4

Calcular cada derivada parcial passo a passo:
  • \dfrac{\partial v_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}z^{3}\bigr)=0 (porque v_x não depende de x).
  • \dfrac{\partial v_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz^{3}\bigr)=2xz^{3} (derivada de 2x\cdot y\cdot z^{3} em relação a y é 2x z^{3}).
  • \dfrac{\partial v_z}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(3xy^{2}z^{2}\bigr)=6xy^{2}z (derivada de 3xy^{2}\cdot z^{2} em relação a z é 3xy^{2}\cdot 2z).
Somando:
\label{divv} \nabla\cdot\mathbf{v}=0+2xz^{3}+6xy^{2}z.

Passo 5

Avaliar a expressão da divergência no ponto (1,1,1):
\nabla\cdot\mathbf{v}\big|_{(1,1,1)}=2\cdot 1\cdot 1^{3}+6\cdot 1\cdot 1^{2}\cdot 1=2+6=8\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como \rho=1\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}, pela fórmula da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t}\Big|_{(1,1,1)} = -\rho\,\nabla\cdot\mathbf{v}\Big|_{(1,1,1)} = -1\cdot 8 = -8\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}\\ s^{-1}}.

Passo 6

Interpretação física curta e incentivo: o resultado negativo significa que, naquele ponto, a massa por unidade de volume está diminuindo a uma taxa de 8\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}\\ s^{-1}} — há saída líquida de massa do volume infinitesimal ao redor de (1,1,1). Dá para entender como “o fluido está saindo mais do que entrando” naquele ponto. Continua firme, tá indo bem — esses cálculos de divergência são muito usados em provas e têm sempre esse jeitinho de “soma das derivadas parciais”.

Resposta

-8\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}\\ s^{-1}}

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