Seja o escoamento de um fluido de densidade \rho=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} definido pelo campo de velocidades \mathbf{v}(x, y, z)=y^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+3 x y^{2} z^{2} \mathbf{k} \mathrm{~ms}^{-1}.
Qual a taxa de acumulação por unidade de volume no ponto (1,1,1) ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Densidade do fluido: \rho=1\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
Campo de velocidades: \mathbf{v}(x,y,z)=y^{2}z^{3}\,\mathbf{i}+2xyz^{3}\,\mathbf{j}+3xy^{2}z^{2}\,\mathbf{k} (em \mathrm{m\,s^{-1}}).
Ponto onde queremos a taxa: (1,1,1).
O que a questão pede: a “taxa de acumulação por unidade de volume” no ponto (1,1,1). Em termos físicos isso corresponde à variação temporal da densidade por unidade de volume nesse ponto, isto é \partial \rho/\partial t em (1,1,1). Vou calcular esse valor.
Passo 2
Fórmula que liga densidade e velocidade (equação da continuidade, conservação de massa):
Explicando: \partial \rho/\partial t é a taxa de acumulação de massa por unidade de volume (o que pedimos). O termo \nabla\cdot(\rho\,\mathbf{v}) é a divergência do fluxo de massa; quando a divergência é positiva há saída líquida de massa do volume, então a densidade diminui (sinal negativo em \partial\rho/\partial t), e vice-versa.
\dfrac{\partial v_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}z^{3}\bigr)=0 (porque v_x não depende de x).
\dfrac{\partial v_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2xyz^{3}\bigr)=2xz^{3} (derivada de 2x\cdot y\cdot z^{3} em relação a y é 2x z^{3}).
\dfrac{\partial v_z}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(3xy^{2}z^{2}\bigr)=6xy^{2}z (derivada de 3xy^{2}\cdot z^{2} em relação a z é 3xy^{2}\cdot 2z).
Interpretação física curta e incentivo: o resultado negativo significa que, naquele ponto, a massa por unidade de volume está diminuindo a uma taxa de 8\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}\\ s^{-1}} — há saída líquida de massa do volume infinitesimal ao redor de (1,1,1). Dá para entender como “o fluido está saindo mais do que entrando” naquele ponto. Continua firme, tá indo bem — esses cálculos de divergência são muito usados em provas e têm sempre esse jeitinho de “soma das derivadas parciais”.