Para cada função a seguir, determine seu domínio e verifique se é uma função par, ímpar, injetora, sobrejetora ou bijetora. Além disso, esboce seu gráfico.
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede, para a função f definida por
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x},
que eu determine:
  • o domínio da função;
  • se a função é par, ímpar;
  • se é injetora, sobrejetora ou bijetora;
  • e que eu esboce o gráfico.
Informações dadas:
  • A expressão algébrica de f é \dfrac{x^{2}+1}{x}.
  • Não foi dada outra restrição de domínio além da expressão.

Passo 2

Encontrar o domínio.
Explicando o que é domínio: domínio é o conjunto de valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (não dá divisão por zero, raízes de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.). Aqui temos uma divisão por x, então devemos excluir os x que anulam o denominador.
Como o denominador é x, o único x proibido é x=0. Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Simplificar a expressão para enxergar estrutura útil.
Fazendo divisão simples:
\frac{x^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Essa forma f(x)=x+\dfrac{1}{x} é mais intuitiva para analisar comportamento, simetrias e limites.

Passo 4

Verificar paridade (par/ímpar).
Definição breve e prática: f é par se f(-x)=f(x) para todo x do domínio; é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x do domínio. Vamos calcular f(-x) usando a forma simplificada.
f(-x)=(-x)+\frac{1}{-x}=-x-\frac{1}{x} = -\left(x+\frac{1}{x}\right) = -f(x).
Como f(-x)=-f(x) para todo x\in\mathrm{Dom}(f), concluímos que f é ímpar. (Isto também explica que o gráfico é simétrico em relação à origem.)

Passo 5

Testar injetividade: ideia e método.
Definição prática: f é injetora se valores diferentes de entrada sempre dão valores diferentes de saída. Um teste comum é ver se a função é monotônica (estritamente crescente ou decrescente) em todo o domínio; se não for monotônica globalmente, pode não ser injetora.
Para investigar monotonicidade usamos a derivada. Calculemos f'(x).
f(x)=x+\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}.
Analisando o sinal de f'(x):
  • f'(x)=0 quando 1-\dfrac{1}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1.
  • Para |x|>1 temos x^{2}>1\Rightarrow f'(x)>0 (derivada positiva).
  • Para 0<|x|<1 temos x^{2}<1\Rightarrow f'(x)<0 (derivada negativa).
Logo:
  • Em (1,\infty) a função é estritamente crescente.
  • Em (0,1) é estritamente decrescente.
  • Em (-\infty,-1) é estritamente crescente.
  • Em (-1,0) é estritamente decrescente.
Como a função muda de direção em x=\pm1, ela não é monotônica em todo o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}. Portanto não é injetora em todo o domínio.
Além disso, dá para demonstrar explicitamente uma colisão de valores: para qualquer x\neq 0 tem-se
f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+x=x+\frac{1}{x}=f(x).
Assim, se x\neq \frac{1}{x} (por exemplo x=2 e \frac{1}{x}=\tfrac{1}{2}), então x\neq \frac{1}{x} mas f(x)=f(1/x). Exemplo numérico: f(2)=2+\tfrac{1}{2}=2{,}5=f(\tfrac{1}{2}). Isso mostra claramente que f não é injetora.

Passo 6

Determinar a imagem (contraparte útil para sobrejetividade).
Para saber se f é sobrejetora sobre \mathbb{R} (isto é, se atinge todo número real), precisamos achar o conjunto de valores possíveis de f (o contradomínio efetivo, ou imagem).
Observações úteis:
  • Comportamento nos extremos: \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.
\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.
  • Valores críticos (extremos locais) ocorrem onde f'(x)=0, ou seja x=\pm1. f(1)=1+\frac{1}{1}=2,\qquad f(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2.
Analisando o comportamento em (0,\infty): quando x passa de 0^{+} para 1, f vai de +\infty decrescendo até 2 em x=1; depois aumenta para +\infty quando x\to+\infty. Portanto a imagem em (0,\infty) é [2,+\infty).
Em (-\infty,0): quando x vai de -\infty para -1, f aumenta (lembre-se da monotonicidade) até f(-1)=-2; de -1 até 0^{-} decresce para -\infty. Assim a imagem em (-\infty,0) é (-\infty,-2].
Juntando:
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,-2]\cup[2,\infty).
Como (-2,2) não pertence à imagem, a função não atinge valores entre -2 e 2. Portanto f não é sobrejetora quando o contradomínio considerado for \mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão sobre sobrejetividade e bijetividade.
  • Sobrejetora (onto \mathbb{R})? Não, pois valores em (-2,2) não são atingidos.
  • Bijetora? Não, porque é necessária tanto injetividade quanto sobrejetividade e já falhamos em ambas.
Se alguém pedisse bijeção a uma imagem reduzida, poderia restringir domínio e contradomínio apropriadamente para obter bijeções (por exemplo sobre [2,\infty) ou (-\infty,-2] em intervalos monotônicos), mas na forma dada (domínio natural e contradomínio \mathbb{R}) não é bijetora.

Passo 8

Características do gráfico (para esboçar). Vou listar pontos e curvas que você deve marcar no papel para desenhar um esboço fiel; expliquei também por que cada marcação é importante.
  • Assimetria: a função é ímpar, então o ramo negativo é a rotação de 180° do ramo positivo em torno da origem.
  • Assimptotas:
    • Assimptota vertical em x=0 (divisão por zero). À direita de 0 a função vai para +\infty; à esquerda para -\infty.
    • Assimptota oblíqua y=x, pois f(x)-x=\dfrac{1}{x}\to 0 quando |x|\to\infty.
  • Pontos notáveis:
    • Ponto de mínimo em x=1: (1,2).
    • Ponto de máximo em x=-1: (-1,-2).
    • Não há intercepto com os eixos: x=0 não pertence ao domínio, e não existe x real tal que f(x)=0 (porque x+\tfrac{1}{x}=0\Rightarrow x^{2}=-1 sem solução real).
  • Comportamento nos intervalos:
    • Em (0,1) a curva vem de +\infty, desce até (1,2), sendo estritamente decrescente e côncava para cima (ver f’’ abaixo).
    • Em (1,\infty) sobe de 2 para +\infty, estritamente crescente, aproximando-se da reta y=x.
    • Em (-1,0) a curva desce de -2 para -\infty, estritamente decrescente.
    • Em (-\infty,-1) sobe de -\infty até -2 (estritamente crescente), aproximando-se de y=x quando x\to -\infty.
  • Concavidade: calculemos f''(x): f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad f''(x)=\frac{2}{x^{3}}.Assim:
    • Para x>0, f''(x)>0 (côncava para cima).
    • Para x<0, f''(x)<0 (côncava para baixo).
      Não há ponto de inflexão no domínio (sinal muda em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio).
Passos práticos para esboçar:
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Trace a vertical x=0 como assimptota (linha tracejada).
  3. Trace a reta oblíqua y=x como guia de aproximação para grandes |x|.
  4. Marque (1,2) e (-1,-2).
  5. No lado positivo: desenhe a curva vindo de +\infty em x\to0^{+}, descendo até (1,2), depois subindo seguindo a reta y=x para a direita.
  6. No lado negativo: desenhe o espelho ímpar do lado positivo (rotacione 180° em torno da origem).
  7. Observe que a curva em (0,\infty) nunca cruza o eixo y nem o x (pois x=0 não está no domínio e não há raízes).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Paridade: ímpar
Injetora: não (por exemplo f(2)=f(\tfrac{1}{2}))
Sobrejetora (onto \mathbb{R}): não. Imagem: (-\infty,-2]\cup[2,\infty)
Bijetora: não

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