Para cada função a seguir, determine seu domínio e verifique se é uma função par, ímpar, injetora, sobrejetora ou bijetora. Além disso, esboce seu gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
definida por
que eu determine:
- o domínio da função;
- se a função é par, ímpar;
- se é injetora, sobrejetora ou bijetora;
- e que eu esboce o gráfico.
Informações dadas:
- A expressão algébrica de
é . - Não foi dada outra restrição de domínio além da expressão.
Passo 2
Encontrar o domínio.
Explicando o que é domínio: domínio é o conjunto de valores de para os quais a expressão que define a função faz sentido (não dá divisão por zero, raízes de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.). Aqui temos uma divisão por
, então devemos excluir os
que anulam o denominador.
Explicando o que é domínio: domínio é o conjunto de valores de
Como o denominador é
, o único
proibido é
. Portanto o domínio é
Passo 3
Simplificar a expressão para enxergar estrutura útil.
Fazendo divisão simples:
Fazendo divisão simples:
Essa forma
é mais intuitiva para analisar comportamento, simetrias e limites.
Passo 4
Verificar paridade (par/ímpar).
Definição breve e prática: é par se
para todo
do domínio; é ímpar se
para todo
do domínio. Vamos calcular
usando a forma simplificada.
Definição breve e prática:
Como
para todo
, concluímos que
é ímpar. (Isto também explica que o gráfico é simétrico em relação à origem.)
Passo 5
Testar injetividade: ideia e método.
Definição prática: é injetora se valores diferentes de entrada sempre dão valores diferentes de saída. Um teste comum é ver se a função é monotônica (estritamente crescente ou decrescente) em todo o domínio; se não for monotônica globalmente, pode não ser injetora.
Definição prática:
Para investigar monotonicidade usamos a derivada. Calculemos
.
Analisando o sinal de
:
-
quando . - Para
temos (derivada positiva). - Para
temos (derivada negativa).
Logo:
- Em
a função é estritamente crescente. - Em
é estritamente decrescente. - Em
é estritamente crescente. - Em
é estritamente decrescente.
Como a função muda de direção em
, ela não é monotônica em todo o domínio
. Portanto não é injetora em todo o domínio.
Além disso, dá para demonstrar explicitamente uma colisão de valores: para qualquer
tem-se
Assim, se
(por exemplo
e
), então
mas
. Exemplo numérico:
. Isso mostra claramente que
não é injetora.
Passo 6
Determinar a imagem (contraparte útil para sobrejetividade).
Para saber se é sobrejetora sobre
(isto é, se atinge todo número real), precisamos achar o conjunto de valores possíveis de
(o contradomínio efetivo, ou imagem).
Para saber se
Observações úteis:
- Comportamento nos extremos:
- Valores críticos (extremos locais) ocorrem onde
, ou seja .
Analisando o comportamento em
: quando
passa de
para
,
vai de
decrescendo até
em
; depois aumenta para
quando
. Portanto a imagem em
é
.
Em
: quando
vai de
para
,
aumenta (lembre-se da monotonicidade) até
; de
até
decresce para
. Assim a imagem em
é
.
Juntando:
Como
não pertence à imagem, a função não atinge valores entre
e
. Portanto
não é sobrejetora quando o contradomínio considerado for
.
Passo 7
Conclusão sobre sobrejetividade e bijetividade.
- Sobrejetora (onto
)? Não, pois valores em não são atingidos. - Bijetora? Não, porque é necessária tanto injetividade quanto sobrejetividade e já falhamos em ambas.
Se alguém pedisse bijeção a uma imagem reduzida, poderia restringir domínio e contradomínio apropriadamente para obter bijeções (por exemplo sobre
ou
em intervalos monotônicos), mas na forma dada (domínio natural e contradomínio
) não é bijetora.
Passo 8
Características do gráfico (para esboçar). Vou listar pontos e curvas que você deve marcar no papel para desenhar um esboço fiel; expliquei também por que cada marcação é importante.
- Assimetria: a função é ímpar, então o ramo negativo é a rotação de 180° do ramo positivo em torno da origem.
- Assimptotas:
- Assimptota vertical em
(divisão por zero). À direita de a função vai para ; à esquerda para . - Assimptota oblíqua
, pois quando .
- Assimptota vertical em
- Pontos notáveis:
- Ponto de mínimo em
: . - Ponto de máximo em
: . - Não há intercepto com os eixos:
não pertence ao domínio, e não existe real tal que (porque sem solução real).
- Ponto de mínimo em
- Comportamento nos intervalos:
- Em
a curva vem de , desce até , sendo estritamente decrescente e côncava para cima (ver f’’ abaixo). - Em
sobe de para , estritamente crescente, aproximando-se da reta . - Em
a curva desce de para , estritamente decrescente. - Em
sobe de até (estritamente crescente), aproximando-se de quando .
- Em
- Concavidade: calculemos
: Assim: - Para
, (côncava para cima). - Para
, (côncava para baixo).
Não há ponto de inflexão no domínio (sinal muda em, mas não pertence ao domínio).
- Para
Passos práticos para esboçar:
- Desenhe eixos
e . - Trace a vertical
como assimptota (linha tracejada). - Trace a reta oblíqua
como guia de aproximação para grandes . - Marque
e . - No lado positivo: desenhe a curva vindo de
em , descendo até , depois subindo seguindo a reta para a direita. - No lado negativo: desenhe o espelho ímpar do lado positivo (rotacione 180° em torno da origem).
- Observe que a curva em
nunca cruza o eixo nem o (pois não está no domínio e não há raízes).
Resposta
Domínio:
Paridade: ímpar
Injetora: não (por exemplo
)
Sobrejetora (onto
): não. Imagem:
Bijetora: não