Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o conjunto solução da desigualdade
Informações dadas (apenas reescritas): a desigualdade envolve um polinômio quadrático em
. O objetivo é achar todos os números reais
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar tudo em um só membro para ter
no outro lado — isso é útil para estudar o sinal do polinômio. Subtraindo
dos dois lados:
Explicação do porquê: desigualdades com polinômios costumam ser resolvidas encontrando os zeros do polinômio e analisando em quais intervalos ele é positivo ou negativo.
Passo 3
Agora encontramos as raízes da equação associada (os pontos em que o polinômio vale zero):
Tentar fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo:
Assim as raízes são
Esses valores são as fronteiras onde o sinal do polinômio pode mudar.
Passo 4
Analisar o sinal do produto
. Duas maneiras equivalentes: (a) raciocinar sobre a parábola ou (b) testar pontos em cada intervalo formado pelas raízes. Vou fazer os dois de forma simples.
-
Forma da parábola: coeficiente de
é positivo ( ), então a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio será positivo longe das raízes (à esquerda de e à direita de ) e negativo entre as duas raízes. Portanto o polinômio é negativo quando está entre e . -
Teste de pontos (confirmação): escolher um ponto em cada intervalo.
- Para
(intervalo ): . - Para
(intervalo ): . - Para
(intervalo ): .
- Para
Como queremos onde o polinômio é estritamente menor que zero, aceitaremos apenas o intervalo onde o teste deu negativo, e não incluiremos as fronteiras (já que a desigualdade é estrita).
Passo 5
Conclusão: o conjunto solução da desigualdade é o intervalo aberto de
a
. Em notação de conjunto: