Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades:
x^{2}<6 x-5

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o conjunto solução da desigualdade
x^{2}<6x-5
Informações dadas (apenas reescritas): a desigualdade envolve um polinômio quadrático em x. O objetivo é achar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar tudo em um só membro para ter 0 no outro lado — isso é útil para estudar o sinal do polinômio. Subtraindo 6x-5 dos dois lados:
x^{2}-6x+5<0.
Explicação do porquê: desigualdades com polinômios costumam ser resolvidas encontrando os zeros do polinômio e analisando em quais intervalos ele é positivo ou negativo.

Passo 3

Agora encontramos as raízes da equação associada (os pontos em que o polinômio vale zero):
x^{2}-6x+5=0.
Tentar fatorar: precisamos de dois números cujo produto seja 5 e cuja soma seja -6. Esses números são -1 e -5. Logo:
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
Assim as raízes são
x=1\qquad\text{e}\qquad x=5.
Esses valores são as fronteiras onde o sinal do polinômio pode mudar.

Passo 4

Analisar o sinal do produto (x-1)(x-5). Duas maneiras equivalentes: (a) raciocinar sobre a parábola ou (b) testar pontos em cada intervalo formado pelas raízes. Vou fazer os dois de forma simples.
  • Forma da parábola: coeficiente de x^{2} é positivo ( 1), então a parábola abre para cima. Isso significa que o polinômio será positivo longe das raízes (à esquerda de 1 e à direita de 5) e negativo entre as duas raízes. Portanto o polinômio é negativo quando x está entre 1 e 5.
  • Teste de pontos (confirmação): escolher um ponto em cada intervalo.
    • Para x=0 (intervalo x<1): (0-1)(0-5)=(-1)(-5)=5>0.
    • Para x=3 (intervalo 1<x<5): (3-1)(3-5)=(2)(-2)=-4<0.
    • Para x=6 (intervalo x>5): (6-1)(6-5)=(5)(1)=5>0.
Como queremos onde o polinômio é estritamente menor que zero, aceitaremos apenas o intervalo onde o teste deu negativo, e não incluiremos as fronteiras (já que a desigualdade é estrita).

Passo 5

Conclusão: o conjunto solução da desigualdade é o intervalo aberto de 1 a 5. Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\}.

Resposta

(1,5)

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