Seja uma esfera condutora maciça de raio R. Determine o campo elétrico em qualquer ponto dentro (r e fora da esfera (r>R). Determine agora o campo elétrico uma casca esférica de mesmo raio R nas mesmas situações anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera condutora maciça com raio e precisamos descobrir o campo elétrico em dois casos: quando o ponto está dentro da esfera ( ) e quando está fora dela ( ). Depois, vamos fazer o mesmo para uma casca esférica com o mesmo raio .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de alta simetria. Precisamos entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss de forma adequada para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a esfera condutora maciça. Em condutores em equilíbrio eletrostático, as cargas ficam distribuídas na superfície. Isso significa que toda a carga oint E cdot dA = Qvarepsilon0 está na superfície da esfera.
Para encontrar o campo elétrico, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E = Q4pi varepsilon0 r^2 , centrada no mesmo ponto da esfera condutora.
Para E = 0 para r < R :
A carga total está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Como a esfera é condutora, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície gaussiana. Então:
Para :
Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se redistribuem na superfície, cancelando qualquer campo interno.

Passo 3

Agora, vamos analisar a casca esférica com raio E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E = Q4pi varepsilon0 r^2 . Diferente da esfera maciça, uma casca esférica tem toda a sua massa e carga distribuídas exatamente na superfície.
Usando novamente a Lei de Gauss:
Para E cdot 4pi r^2 = 0 implies E = 0 para r < R :
A situação é similar à da esfera condutora. Toda a carga está dentro da superfície gaussiana, então:
Para :
Dentro de uma casca esférica, não há carga encerrada pela superfície gaussiana. Portanto, pela Lei de Gauss:

Resposta

Esfera condutora maciça:
E = 0, & para r < R Q4pi varepsilon0 r^2, & para r > R
Casca esférica:
E = 0, & para r < R Q4pi varepsilon0 r^2, & para r > R
Em ambos os casos, o campo elétrico fora da esfera ou casca depende da distância e diminui com o quadrado dessa distância. Dentro da esfera condutora ou da casca esférica, o campo elétrico é nulo.

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