Uma superfície fechada imaginária em forma de cubo de lado L está em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E. Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo quando: (a) ele está orientado com duas de suas faces perpendiculares a E e (b) ele sofre um rotação de um ângulo theta em torno de um eixo vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo elétrico através de cada face de um cubo quando ele está em um campo elétrico uniforme E. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente o conceito de fluxo elétrico. Para resolver, precisamos lembrar que o fluxo elétrico através de uma superfície é dado por Phi = E cdot A, onde A é o vetor área da superfície. Vamos analisar as duas situações: (a) cubo orientado com duas faces perpendiculares ao campo elétrico e (b) cubo rotacionado um ângulo theta em torno de um eixo vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o fluxo elétrico. Imagine que o campo elétrico E esteja passando por uma face do cubo. O fluxo elétrico Phi é uma medida de quantas “linhas” de campo passam por essa face. Matemáticamente, é calculado pelo produto escalar entre E e A, onde A tem magnitude igual à área da face e direção perpendicular à face.

Passo 3

Para o caso (a), onde o cubo está orientado com duas faces perpendiculares ao campo elétrico, vamos identificar essas faces. Suponha que o campo elétrico E esteja direcionado ao longo do eixo z. Assim, as faces superiores e inferiores do cubo são perpendiculares a E.

Passo 4

Calculando o fluxo através das faces perpendiculares:
  • Para a face superior ( A apontando para cima): Phisuperior = E cdot A = E cdot L^2 cdot cos(0) = E L^2
  • Para a face inferior ( A apontando para baixo): Phiinferior = E cdot A = E cdot L^2 cdot cos(180°) = -E L^2

Passo 5

Agora, para as outras quatro faces laterais, que são paralelas ao campo elétrico, o ângulo entre E e A é 90°, então o cosseno de 90° é zero. Assim, o fluxo através de cada uma dessas faces é zero:
Philateral = E cdot L^2 cdot cos(90°) = 0

Passo 6

Somando todos os fluxos para o caso (a):
Phitotal = Phisuperior + Phiinferior + 4 times Philateral = E L^2 - E L^2 + 0 = 0

Passo 7

Para o caso (b), onde o cubo é rotacionado um ângulo theta em torno de um eixo vertical, o campo elétrico não é mais perpendicular a duas faces. Agora, todas as faces do cubo estão em algum ângulo diferente de 0° ou 90° com o campo elétrico.

Passo 8

No entanto, devido ao Teorema de Gauss, sabemos que para uma superfície fechada em um campo elétrico uniforme e sem cargas internas, o fluxo elétrico total através da superfície é sempre zero, independentemente da orientação da superfície.

Resposta

(a) O fluxo elétrico através de cada face perpendicular é E L²² e -E L²², e através das faces laterais é zero. O fluxo total através do cubo é zero.
(b) Após a rotação, o fluxo total através do cubo continua sendo zero.

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