Seja R_{N}=s-s_{N} o N-ésimo resto da série dada. Encontre N tal que \left|R_{N}\right|<\varepsilon. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n 5^{n}}, \varepsilon=0,0001;
Passo 1
O enunciado pede que encontremos N tal que o resto
R_{N}=s-s_{N}
da série alternante
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\,5^{n}}
satisfaça \bigl|R_{N}\bigr|<\varepsilon com \varepsilon=0,0001. Vamos usar o Teorema da Série Alternante para estimar o resto.
Passo 2
Identificamos a_{n}=\frac{1}{n\,5^{n}}. Note que:
a_{n}>0 para todo n.
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)5^{n+1}}<\frac{1}{n\,5^{n}}=a_{n}, ou seja, é decrescente.
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Pelas condições do Teorema da Série Alternante, temos