Seja R_{N}=s-s_{N} o N-ésimo resto da série dada. Encontre N tal que \left|R_{N}\right|<\varepsilon.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n 5^{n}}, \varepsilon=0,0001;

Passo 1

O enunciado pede que encontremos N tal que o resto
R_{N}=s-s_{N}
da série alternante
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\,5^{n}}
satisfaça \bigl|R_{N}\bigr|<\varepsilon com \varepsilon=0,0001. Vamos usar o Teorema da Série Alternante para estimar o resto.

Passo 2

Identificamos a_{n}=\frac{1}{n\,5^{n}}. Note que:
  1. a_{n}>0 para todo n.
  2. a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)5^{n+1}}<\frac{1}{n\,5^{n}}=a_{n}, ou seja, é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
    Pelas condições do Teorema da Série Alternante, temos
\bigl|R_{N}\bigr|\le a_{N+1}\,.

Passo 3

Logo, basta escolher N tal que
a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)5^{N+1}}<\varepsilon=0{,}0001.

Passo 4

Testamos valores de N:
  • Para N=3:
a_{4}=\frac{1}{4\cdot5^{4}}=\frac{1}{2500}=0{,}0004>\varepsilon.
  • Para N=4:
a_{5}=\frac{1}{5\cdot5^{5}}=\frac{1}{15625}\approx0{,}000064<\varepsilon.
Portanto, o menor N que garante \bigl|R_{N}\bigr|<0{,}0001 é N=4.

Resposta

O menor N tal que \bigl|R_{N}\bigr|<0{,}0001 é N=4.

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