Seja R_{N}=s-s_{N} o N-ésimo resto da série dada. Encontre N tal que \left|R_{N}\right|<\varepsilon.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{10^{n} n!}, \varepsilon=0,00005;

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{10^n\,n!},
cujo N-ésimo resto é R_{N}=s-s_{N}, e pede um N tal que \lvert R_{N}\rvert<\varepsilon, com \varepsilon=0,00005. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas, que garante
\lvert R_{N}\rvert\le a_{N+1},
onde a_n é o módulo do n-ésimo termo.

Passo 2

Identificamos o módulo do termo geral como
a_n = \frac{1}{10^n\,n!}.
Para verificar que (a_n) é decrescente e tende a zero, note que
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(10^{n+1}(n+1)!)}{1/(10^n\,n!)} = \frac{1}{10(n+1)}<1 \quad(\forall n\ge0),
e claramente \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar após N termos satisfaz
\lvert R_{N}\rvert \le a_{N+1}.
Então basta achar N tal que
a_{N+1} = \frac{1}{10^{\,N+1}(N+1)!} < 0,00005.

Passo 4

Vamos testar valores de N a partir de N=2:
Para N=2 temos
a_{3} = \frac{1}{10^3\cdot3!} = \frac{1}{1000\cdot6} = \frac{1}{6000}\approx0,0001667 >0,00005.
Para N=3 temos
a_{4} = \frac{1}{10^4\cdot4!} = \frac{1}{10000\cdot24} = \frac{1}{240000}\approx0,00000417 <0,00005.

Passo 5

Como a_{4}<\varepsilon, basta escolher N+1=4, isto é, N=3.

Resposta

N=3.

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