Seja R_{N}=s-s_{N} o N-ésimo resto da série dada. Encontre N tal que \left|R_{N}\right|<\varepsilon.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{6}}, \varepsilon=0,0005;

Passo 1

O enunciado pede para estimar o resto \displaystyle R_{N}=s-s_{N}
da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{6}}
de modo que \lvert R_{N}\rvert<\varepsilon com \varepsilon=0,0005.
O conteúdo envolve o Critério de Leibniz para séries alternadas, que diz que se a_{n}>0 é decrescente e tende a zero, então
\lvert R_{N}\rvert\le a_{N+1}.

Passo 2

Aqui temos a_{n}=\frac{1}{n^{6}}, que é positiva, decrescente e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Pelo Critério de Leibniz,
\lvert R_{N}\rvert\le a_{N+1}=\frac{1}{(N+1)^{6}}.

Passo 3

Queremos
\frac{1}{(N+1)^{6}}<0,0005.
Isto equivale a
(N+1)^{6}>\frac{1}{0,0005}=2000.
Tomando raiz sexta,
N+1>2000^{1/6}.
Como
\ln(2000)\approx7,6009\quad\Rightarrow\quad\frac{\ln(2000)}{6}\approx1,2668\quad\Rightarrow\quad2000^{1/6}\approx e^{1,2668}\approx3,55,
temos
N+1>3,55\quad\Longrightarrow\quad N\ge3.

Passo 4

Verificando o caso N=2:
\lvert R_{2}\rvert\le\frac{1}{3^{6}}=\frac{1}{729}\approx0,00137>0,0005,
não serve. Para N=3:
\lvert R_{3}\rvert\le\frac{1}{4^{6}}=\frac{1}{4096}\approx0,000244<0,0005,
atende à condição.

Resposta

O menor N que garante \lvert R_{N}\rvert<0,0005 é N=3.

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