Seja R_{N}=s-s_{N} o N-ésimo resto da série dada. Encontre N tal que \left|R_{N}\right|<\varepsilon.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} n e^{-n}, \varepsilon=0,01.

Passo 1

O enunciado dá a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n e^{-n}
e define o resto R_{N}=s - s_{N}. Queremos achar N tal que \lvert R_{N}\rvert<\varepsilon com \varepsilon=0,01. Vamos usar o Critério de Leibniz (Teorema do Resto para séries alternantes).

Passo 2

Definimos a_{n}=n e^{-n}. Notamos que
  1. a_{n}>0 para todo n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}n e^{-n}=0.
  3. a_{n+1}<a_{n} porque
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{n e^{-n}} =\frac{n+1}{n e} <1.
Portanto, a série satisfaz as hipóteses do Teorema de Leibniz.

Passo 3

Pelo Teorema de Leibniz, o resto em valor absoluto satisfaz
\lvert R_{N}\rvert\le a_{N+1}.

Passo 4

Impondo a_{N+1}<\varepsilon, temos
(N+1)e^{-(N+1)}<0,01.
Para encontrar o menor N que satisfaça isso, calculamos valores crescentes de (N+1)e^{-(N+1)} até ficar abaixo de 0,01.

Passo 5

Para N+1=6:
6e^{-6}\approx 6\cdot0,0024788\approx0,01487>0,01.
Para N+1=7:
7e^{-7}\approx 7\cdot0,0009119\approx0,00638<0,01.
Logo, o menor N que garante \lvert R_{N}\rvert<0,01 é N=6.

Resposta

N=6

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