É verdadeiro ou falso?
Se a_{n}>0 e existe \lim \left(n a_{n}\right) \neq 0, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é divergente.
Passo 1
O enunciado diz que \{a_n\} é uma sequência de termos positivos e que
\lim_{n\to\infty} \bigl(n\,a_n\bigr)=L\neq 0.
Queremos decidir se a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação para séries de termos positivos, usando o comportamento assintótico de a_n.
Passo 2
Como \lim_{n\to\infty}n\,a_n=L com L\neq 0, sabemos que L>0 (já que n\,a_n>0 todo n).
Pela definição de limite, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|n\,a_n - L\bigr| < \frac{L}{2}.
Isso implica
n\,a_n > L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2}.
Passo 3
Da desigualdade acima segue que, para todo n\ge N,
a_n > \frac{L}{2n}.
Como \frac{L}{2} é uma constante positiva, definimos c=\frac{L}{2}>0 e obtemos
a_n \ge \frac{c}{n} \quad\text{para todo }n\ge N.
Passo 4
Sabemos que a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge. Pelo teste de comparação, como a_n \ge \tfrac{c}{n} a partir de um certo índice e c>0, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n também diverge.