Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo infinito F e sejam S_{1}, \ldots, S_{k} subespaços de V tais que \operatorname{dim}\left(S_{i}\right) \leq m<n. Prove que existe um subespaço T de V, com \operatorname{dim}(T)=n-m, tal que T \cap S_{i}=\{0\}, \quad para todo i=1, \ldots, k.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • V é um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo infinito F.
  • S_{1},\dots,S_{k} são subespaços de V com \dim\!\left(S_{i}\right)\le m para todo i, e m<n.
    O que se pede provar:
  • Existe um subespaço T de V tal que \dim(T)=n-m e T\cap S_{i}=\{0\} para todo i=1,\dots,k.

Passo 2

Vou usar um lema simples e útil: uma união finita de subespaços próprios de V não pode ser igual a V quando F é infinito. Primeiro explico e provarei esse lema.
Lema. Se W_{1},\dots,W_{r} são subespaços de V com cada \dim(W_{j})<n, então \bigcup_{j=1}^{r}W_{j}\neq V.
Prova do lema (passo a passo, bem didático):
  1. Para cada subespaço próprio W_{j} existe uma forma linear não nula \varphi_{j}:V\to F que se anula em W_{j}, ou seja, W_{j}\subseteq\ker\varphi_{j}. (Construção: escolha uma base de W_{j} e a estenda a uma base de V; definir \varphi_{j} que vale 0 em todos os vetores da base de W_{j} e 1 em algum vetor da parte estendida dá uma forma linear não nula com \ker\varphi_{j} contendo W_{j}.)
  2. Para cada j a aplicação x\mapsto \varphi_{j}(x) é um polinômio linear não nulo nas coordenadas de x em relação a qualquer base fixa de V. Então o produto P(x)=\prod_{j=1}^{r}\varphi_{j}(x)é um polinômio (multivariável) não identicamente nulo nas coordenadas de x.
  3. Uma propriedade básica de corpos infinitos: um polinômio multivariável não identicamente nulo não pode anular-se em todos os pontos F^{n}. Ou seja, existe x\in V tal que P(x)\neq 0.
  4. Se P(x)\neq 0 então \varphi_{j}(x)\neq 0 para todo j, portanto x\notin\ker\varphi_{j} e, em particular, x\notin W_{j} para todo j. Assim x\notin\bigcup_{j=1}^{r}W_{j}.
    Isto mostra que \bigcup_{j=1}^{r}W_{j}\neq V, provando o lema.
Comentário rápido sobre a propriedade do polinômio: para corpos infinitos é clássico que um polinômio não nulo em n variáveis não é zero em todos os pontos de F^{n} (pode ver por indução na quantidade de variáveis ou pela observação de que uma polinomial linear não nula já tem não-zeros e o produto de polinômios não nulos é não nulo).

Passo 3

Com o lema em mãos, faço uma construção por indução para obter T com \dim(T)=n-m e T\cap S_{i}=\{0\} para todo i.
  1. Notação e ideia geral. Vou construir subespaços T_{0}\subset T_{1}\subset\cdots\subset T_{r}\subset V com \dim(T_{j})=j e tal que T_{j}\cap S_{i}=\{0\} para todo i. No fim tomarei r=n-m.
  2. Base da indução ( j=0). Tome T_{0}=\{0\}. Tem \dim(T_{0})=0 e claramente T_{0}\cap S_{i}=\{0\} para todo i.
  3. Passo indutivo. Suponha construído T_{r} com 0\le r< n-m, \dim(T_{r})=r e T_{r}\cap S_{i}=\{0\} para todo i. Quero construir T_{r+1} com as mesmas propriedades e dimensão r+1.
    • Para cada i considere o subespaço S_{i}+T_{r}. Usa-se a desigualdade de dimensões \dim(S_{i}+T_{r})\le \dim(S_{i})+\dim(T_{r})\le m+r.Como r< n-m temos m+r<n, então \dim(S_{i}+T_{r})<n; isto é, cada S_{i}+T_{r} é um subespaço próprio de V.
    • Pelo lema, a união finita \bigcup_{i=1}^{k}(S_{i}+T_{r}) não é igual a V. Logo existe v\in V tal que v\notin \bigcup_{i=1}^{k}(S_{i}+T_{r}),o que significa v\notin S_{i}+T_{r} para todo i.
    • Defina T_{r+1}=\operatorname{span}\{T_{r}\cup\{v\}\}. Como v\notin T_{r}, temos \dim(T_{r+1})=r+1.
    • Agora verifico que T_{r+1}\cap S_{i}=\{0\} para cada i. Se x\in T_{r+1}\cap S_{i}, então escrevo x=t+\lambda v com t\in T_{r} e \lambda\in F. Se \lambda=0 então x=t\in T_{r}\cap S_{i}=\{0\} pela hipótese indutiva, logo x=0. Se \lambda\neq 0 então v=\lambda^{-1}(x-t)\in S_{i}+T_{r}, o que contradiz a escolha de v. Portanto não existe x\neq 0 em T_{r+1}\cap S_{i}, isto é, T_{r+1}\cap S_{i}=\{0\}.
    • Assim o passo indutivo é realizado: construí T_{r+1} com a propriedade desejada.
  4. Repetindo o argumento até r=n-m obtemos um subespaço T_{n-m} com \dim(T_{n-m})=n-m e T_{n-m}\cap S_{i}=\{0\} para todo i=1,\dots,k.

Passo 4

Resumo final do argumento construído: parte-se de T_{0}=\{0\} e, enquanto a dimensão de T for menor que n-m, escolhe-se um vetor fora da união finita dos subespaços S_{i}+T (essa escolha é possível porque cada S_{i}+T é próprio e o corpo é infinito). Acrescentando esse vetor aumenta a dimensão em 1 sem criar interseção não-nula com nenhum S_{i}. Após n-m etapas obtemos o subespaço procurado.

Resposta

Existe um subespaço T de V com \dim(T)=n-m tal que T\cap S_{i}=\{0\} para todo i=1,\dots,k.

Exercícios relacionados