Seja
um espaço vetorial de dimensão
sobre um corpo infinito
e sejam
subespaços de
tais que
. Prove que existe um subespaço
de
, com
, tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um espaço vetorial de dimensão sobre um corpo infinito . -
são subespaços de com para todo , e .
O que se pede provar: - Existe um subespaço
de tal que e para todo .
Passo 2
Vou usar um lema simples e útil: uma união finita de subespaços próprios de
não pode ser igual a
quando
é infinito. Primeiro explico e provarei esse lema.
Lema. Se
são subespaços de
com cada
, então
.
Prova do lema (passo a passo, bem didático):
- Para cada subespaço próprio
existe uma forma linear não nula que se anula em , ou seja, . (Construção: escolha uma base de e a estenda a uma base de ; definir que vale em todos os vetores da base de e em algum vetor da parte estendida dá uma forma linear não nula com contendo .) - Para cada
a aplicação é um polinômio linear não nulo nas coordenadas de em relação a qualquer base fixa de . Então o produto é um polinômio (multivariável) não identicamente nulo nas coordenadas de . - Uma propriedade básica de corpos infinitos: um polinômio multivariável não identicamente nulo não pode anular-se em todos os pontos
. Ou seja, existe tal que . - Se
então para todo , portanto e, em particular, para todo . Assim .
Isto mostra que, provando o lema.
Comentário rápido sobre a propriedade do polinômio: para corpos infinitos é clássico que um polinômio não nulo em
variáveis não é zero em todos os pontos de
(pode ver por indução na quantidade de variáveis ou pela observação de que uma polinomial linear não nula já tem não-zeros e o produto de polinômios não nulos é não nulo).
Passo 3
Com o lema em mãos, faço uma construção por indução para obter
com
e
para todo
.
-
Notação e ideia geral. Vou construir subespaços
com e tal que para todo . No fim tomarei . -
Base da indução (
). Tome . Tem e claramente para todo . -
Passo indutivo. Suponha construído
com , e para todo . Quero construir com as mesmas propriedades e dimensão . - Para cada
considere o subespaço . Usa-se a desigualdade de dimensões Como temos , então ; isto é, cada é um subespaço próprio de . - Pelo lema, a união finita
não é igual a . Logo existe tal que o que significa para todo . - Defina
. Como , temos . - Agora verifico que
para cada . Se , então escrevo com e . Se então pela hipótese indutiva, logo . Se então , o que contradiz a escolha de . Portanto não existe em , isto é, . - Assim o passo indutivo é realizado: construí
com a propriedade desejada.
- Para cada
-
Repetindo o argumento até
obtemos um subespaço com e para todo .
Passo 4
Resumo final do argumento construído: parte-se de
e, enquanto a dimensão de
for menor que
, escolhe-se um vetor fora da união finita dos subespaços
(essa escolha é possível porque cada
é próprio e o corpo é infinito). Acrescentando esse vetor aumenta a dimensão em
sem criar interseção não-nula com nenhum
. Após
etapas obtemos o subespaço procurado.
Resposta
Existe um subespaço
de
com
tal que
para todo
.