Mostre que o Teorema 1.2 não precisa valer quando o corpo base F é finito.
Teorema 1.2 Um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito não pode ser escrito como a união de um número finito de subespaços próprios. Isto é, se V é um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito F e S_{1}, \ldots, S_{k} são subespaços próprios de V, então V \neq \bigcup_{i=1}^{k} S_{i}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a afirmação do Teorema 1.2 pode falhar se o corpo base F for finito. Ou seja, encontrar um espaço vetorial não trivial V sobre um corpo finito F e subespaços próprios S_{1},\dots,S_{k} (com k finito) tais que
V=\bigcup_{i=1}^{k} S_{i}.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
  • O Teorema 1.2 afirma que, sobre um corpo infinito, isso não é possível.
  • Aqui queremos um contraexemplo quando o corpo F é finito.
  • Para construir o contraexemplo precisamos escolher um corpo finito F, um espaço vetorial V de dimensão \ge 2 sobre F (para que existam subespaços próprios não triviais) e mostrar explicitamente subespaços próprios cujo união é V.

Passo 2

Idéia simples e concretíssima: trabalhar com o corpo finito mais simples \mathbb{F}_2 (os inteiros módulo 2) e o espaço vetorial V=\mathbb{F}_2^2. Vou explicar por que essa escolha funciona e como verificar tudo passo a passo.
Lembrete rápido sobre \mathbb{F}_2^2:
\mathbb{F}_2=\{0,1\},\qquad \mathbb{F}_2^2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}.
O zero do espaço é (0,0). Um subespaço unidimensional (uma “reta” passando pela origem) tem exatamente dois vetores: \{(0,0),v\} com v\neq(0,0).

Passo 3

Construção dos subespaços próprios: considerar as três subespaços gerados por cada vetor não-nulo distinto:
S_1=\langle(1,0)\rangle=\{(0,0),(1,0)\},
S_2=\langle(0,1)\rangle=\{(0,0),(0,1)\},
S_3=\langle(1,1)\rangle=\{(0,0),(1,1)\}.
Cada S_i é de dimensão 1, logo é um subespaço próprio de V (porque \dim V=2).

Passo 4

Verificar que a união dos três S_i é todo V.
Listando os elementos:
  • S_1 contém (0,0) e (1,0).
  • S_2 contém (0,0) e (0,1).
  • S_3 contém (0,0) e (1,1).
A união S_1\cup S_2\cup S_3 então contém exatamente os quatro vetores (0,0),(1,0),(0,1),(1,1), que são todos os elementos de \mathbb{F}_2^2. Portanto
\mathbb{F}_2^2 = S_1\cup S_2\cup S_3.
Concluímos que V foi escrito como união finita ( k=3) de subespaços próprios.

Passo 5

Por que isso contradiz o Teorema 1.2 quando F é finito: o enunciado do Teorema 1.2 exige que o corpo seja infinito. No exemplo acima o corpo \mathbb{F}_2 é finito, e encontramos uma decomposição do tipo proibido pelo teorema (união finita de subespaços próprios que é igual a V). Logo a hipótese “ F infinito” é essencial.

Passo 6

Generalização e intuição (para fixar a ideia): se F tem q elementos e \dim V=n\ge 2, então V tem q^{n} vetores. Cada subespaço unidimensional (reta através da origem) tem q vetores, e cada vetor não-nulo gera exatamente uma dessas retas. O número de subespaços unidimensionais é
\frac{q^{n}-1}{q-1},
que é finito quando q é finito. A união de todas essas retas unidimensionais cobre todos os vetores não-nulos, e o vetor zero está em todas elas; assim a união de um número finito de subespaços próprios (essas retas) é todo V. Isso mostra que, para corpos finitos, cobrir V por finitamente muitos subespaços próprios é possível em geral.

Passo 7

Resumo motivacional e encorajamento: o que quebra aqui é a finitude de F (e, consequentemente, de V quando \dim V é finita). No campo infinito a prova do Teorema 1.2 usa argumentos que exigem escolher parâmetros infinitamente muitos ou usar a infinitude do corpo para construir vetores fora da união; isso falha quando o corpo é finito. Você fez bem em se preocupar com a hipótese — ela é realmente necessária.

Resposta

Tomando F=\mathbb{F}_2 e V=\mathbb{F}_2^2, com
S_1=\langle(1,0)\rangle,\qquad S_2=\langle(0,1)\rangle,\qquad S_3=\langle(1,1)\rangle,
temos que cada S_i é subespaço próprio de V e
\mathbb{F}_2^2 = S_1\cup S_2\cup S_3,
portanto o Teorema 1.2 não vale quando o corpo base é finito.

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