Mostre que o Teorema 1.2 não precisa valer quando o corpo base
é finito.
Teorema 1.2 Um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito não pode ser escrito como a união de um número finito de subespaços próprios. Isto é, se
é um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito
e
são subespaços próprios de
, então
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a afirmação do Teorema 1.2 pode falhar se o corpo base
for finito. Ou seja, encontrar um espaço vetorial não trivial
sobre um corpo finito
e subespaços próprios
(com
finito) tais que
Informações relevantes dadas ou necessárias:
- O Teorema 1.2 afirma que, sobre um corpo infinito, isso não é possível.
- Aqui queremos um contraexemplo quando o corpo
é finito. - Para construir o contraexemplo precisamos escolher um corpo finito
, um espaço vetorial de dimensão sobre (para que existam subespaços próprios não triviais) e mostrar explicitamente subespaços próprios cujo união é .
Passo 2
Idéia simples e concretíssima: trabalhar com o corpo finito mais simples
(os inteiros módulo
) e o espaço vetorial
. Vou explicar por que essa escolha funciona e como verificar tudo passo a passo.
Lembrete rápido sobre
:
O zero do espaço é
. Um subespaço unidimensional (uma “reta” passando pela origem) tem exatamente dois vetores:
com
.
Passo 3
Construção dos subespaços próprios: considerar as três subespaços gerados por cada vetor não-nulo distinto:
Cada
é de dimensão
, logo é um subespaço próprio de
(porque
).
Passo 4
Verificar que a união dos três
é todo
.
Listando os elementos:
-
contém e . -
contém e . -
contém e .
A união
então contém exatamente os quatro vetores
, que são todos os elementos de
. Portanto
Concluímos que
foi escrito como união finita (
) de subespaços próprios.
Passo 5
Por que isso contradiz o Teorema 1.2 quando
é finito: o enunciado do Teorema 1.2 exige que o corpo seja infinito. No exemplo acima o corpo
é finito, e encontramos uma decomposição do tipo proibido pelo teorema (união finita de subespaços próprios que é igual a
). Logo a hipótese “
infinito” é essencial.
Passo 6
Generalização e intuição (para fixar a ideia): se
tem
elementos e
, então
tem
vetores. Cada subespaço unidimensional (reta através da origem) tem
vetores, e cada vetor não-nulo gera exatamente uma dessas retas. O número de subespaços unidimensionais é
que é finito quando
é finito. A união de todas essas retas unidimensionais cobre todos os vetores não-nulos, e o vetor zero está em todas elas; assim a união de um número finito de subespaços próprios (essas retas) é todo
. Isso mostra que, para corpos finitos, cobrir
por finitamente muitos subespaços próprios é possível em geral.
Passo 7
Resumo motivacional e encorajamento: o que quebra aqui é a finitude de
(e, consequentemente, de
quando
é finita). No campo infinito a prova do Teorema 1.2 usa argumentos que exigem escolher parâmetros infinitamente muitos ou usar a infinitude do corpo para construir vetores fora da união; isso falha quando o corpo é finito. Você fez bem em se preocupar com a hipótese — ela é realmente necessária.
Resposta
Tomando
e
, com
temos que cada
é subespaço próprio de
e
portanto o Teorema 1.2 não vale quando o corpo base é finito.