Se V e W são espaços vetoriais sobre um corpo F tais que |V|=|W|, segue-se necessariamente que \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W) ?

Passo 1

O enunciado dá que V e W são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F e que |V|=|W| (ou seja, têm a mesma cardinalidade como conjuntos). A pergunta é: a partir disso segue necessariamente que \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W) ?
Informações relevantes fornecidas:
  • V e W são espaços vetoriais sobre F.
  • |V|=|W| (igualdade de cardinalidade dos conjuntos subjacentes).
  • Pede-se verificar se isso implica \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W).

Passo 2

Primeiro lembramos o que é dimensão e base, de modo bem claro e útil para a prova.
  • Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B\subseteq V que é linearmente independente e gera V.
  • A dimensão \operatorname{dim}(V) é, por definição, a cardinalidade (número) de uma base de V. Pode ser um número natural (caso finito) ou um cardinal infinito.
  • Todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear finita de elementos da base. Isto significa que cada vetor corresponde a uma família finita de escalares em F associados a um subconjunto finito da base.
Essas definições são essenciais porque relacionam dimensão (base) à forma como se constroem os vetores — e daí podemos contar cardinalidades.

Passo 3

Caso das dimensões finitas (argumento simples e importante).
  • Se \operatorname{dim}(V)=n e \operatorname{dim}(W)=m com n,m\in\mathbb{N} finitos, então V\cong F^{n} e W\cong F^{m} como conjuntos. Logo
|V|=|F|^{n},\qquad |W|=|F|^{m}.
  • Se o corpo F tem número finito de elementos, digamos |F|=q<\infty, então a função n\mapsto q^{n} (para n\in\mathbb{N}) é injetora: q^{n}=q^{m} implica n=m. Assim, quando |F| é finito e tanto V quanto W têm dimensão finita, |V|=|W| implica \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W).
  • Se |F| é infinito e n,m\ge 1 são finitos, então |F|^{n}=|F| e |F|^{m}=|F|, logo todos os espaços finito-dimensionais não nulos têm a mesma cardinalidade |F|. Assim, igualdade de cardinalidades não força a igualdade de dimensões neste caso (por exemplo dimensões 1 e 2 já podem dar a mesma cardinalidade).

Passo 4

Contraexemplo concreto que mostra que, em geral, a afirmativa é falsa.
Escolha F=\mathbb{R} (corpo infinito). Tome
V=\mathbb{R}\quad\text{(dimensão }1),\qquad W=\mathbb{R}^2\quad\text{(dimensão }2).ãã
É um fato clássico da teoria dos cardinais que
|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^2|.
Portanto |V|=|W| mas \operatorname{dim}(V)=1\neq 2=\operatorname{dim}(W). Isso já basta como contraexemplo: a igualdade de cardinalidades não implica, em geral, igualdade de dimensões.

Passo 5

Explicação didática (completa mas simples) de porque |\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^2| — a justificativa usada no contraexemplo.
  • É imediato existir uma injeção \mathbb{R}\hookrightarrow\mathbb{R}^2 por x\mapsto (x,0).
  • Para a outra injeção \mathbb{R}^2\hookrightarrow\mathbb{R} pode-se usar a ideia de intercalar as casas decimais de x e y (com cuidado com ambiguidade de expansões decimais que terminam em repetição de 9; isso é resolvível escolhendo uma regra para evitar as expansões terminantes). Assim existe uma injeção explícita de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}.
  • Pelos teoremas de Cantor–Schroeder–Bernstein, a existência de injeções em ambos os sentidos implica existência de bijeção, logo |\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^2|.
Esse argumento é padrão e mostra concretamente porque dimensões diferentes podem produzir a mesma cardinalidade quando o corpo é infinito.

Passo 6

Enunciado geral e condições em que a implicação vale.
  • Em geral, para um corpo F de cardinalidade \mu=|F| e um espaço vetorial V com base de cardinalidade \kappa=\operatorname{dim}(V), tem-se, quando \mu é infinito,
|V|=\max(\mu,\kappa).
Dessa fórmula segue que se \mu é infinito então muitos valores de \kappa diferentes podem dar a mesma |V| (por exemplo qualquer \kappa finito e \ge 1 |V|=\mu). Por isso, para campos infinitos a cardinalidade do espaço não determina a dimensão.
  • Se |F| é finito (digamos q) então para qualquer dimensão finita n vale |V|=q^{n}, e para dimensões finitas a igualdade de cardinalidades implica igualdade de dimensões. (Para dimensões infinitas sobre corpo finito a situação depende da teoria dos cardinais; normalmente |V|=q^{\kappa} para \kappa infinito.)

Passo 7

Conclusão e incentivo final.
  • Resumindo: a resposta geral é não — |V|=|W| não garante \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W). Um contraexemplo simples e familiar é V=\mathbb{R} e W=\mathbb{R}^2 sobre F=\mathbb{R}.
  • Entretanto, em casos particulares (por exemplo: F finito e \operatorname{dim}(V),\operatorname{dim}(W) finitas) a igualdade de cardinalidades implica igualdade de dimensões.
Força aí: o truque padrão em provas é sempre separar casos (campo finito vs campo infinito; dimensões finitas vs infinitas) e procurar um contraexemplo simples quando o campo for infinito.

Resposta

Não. Por exemplo, sobre F=\mathbb{R} tem-se |\mathbb{R}|=|\mathbb{R}^2| mas \operatorname{dim}(\mathbb{R})=1\neq 2=\operatorname{dim}(\mathbb{R}^2). (Observação: se F é finito e ambas as dimensões são finitas, então |V|=|W| implica \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W).)

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