Se
e
são espaços vetoriais sobre um corpo
tais que
, segue-se necessariamente que
?
Passo 1
O enunciado dá que
e
são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo
e que
(ou seja, têm a mesma cardinalidade como conjuntos). A pergunta é: a partir disso segue necessariamente que
?
Informações relevantes fornecidas:
-
e são espaços vetoriais sobre . -
(igualdade de cardinalidade dos conjuntos subjacentes). - Pede-se verificar se isso implica
.
Passo 2
Primeiro lembramos o que é dimensão e base, de modo bem claro e útil para a prova.
- Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto que é linearmente independente e gera . - A dimensão
é, por definição, a cardinalidade (número) de uma base de . Pode ser um número natural (caso finito) ou um cardinal infinito. - Todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear finita de elementos da base. Isto significa que cada vetor corresponde a uma família finita de escalares em associados a um subconjunto finito da base.
Essas definições são essenciais porque relacionam dimensão (base) à forma como se constroem os vetores — e daí podemos contar cardinalidades.
Passo 3
Caso das dimensões finitas (argumento simples e importante).
- Se
e com finitos, então e como conjuntos. Logo
- Se o corpo
tem número finito de elementos, digamos , então a função (para ) é injetora: implica . Assim, quando é finito e tanto quanto têm dimensão finita, implica . - Se
é infinito e são finitos, então e , logo todos os espaços finito-dimensionais não nulos têm a mesma cardinalidade . Assim, igualdade de cardinalidades não força a igualdade de dimensões neste caso (por exemplo dimensões e já podem dar a mesma cardinalidade).
Passo 4
Contraexemplo concreto que mostra que, em geral, a afirmativa é falsa.
Escolha
(corpo infinito). Tome
É um fato clássico da teoria dos cardinais que
Portanto
mas
. Isso já basta como contraexemplo: a igualdade de cardinalidades não implica, em geral, igualdade de dimensões.
Passo 5
Explicação didática (completa mas simples) de porque
— a justificativa usada no contraexemplo.
- É imediato existir uma injeção
por . - Para a outra injeção
pode-se usar a ideia de intercalar as casas decimais de e (com cuidado com ambiguidade de expansões decimais que terminam em repetição de ; isso é resolvível escolhendo uma regra para evitar as expansões terminantes). Assim existe uma injeção explícita de em . - Pelos teoremas de Cantor–Schroeder–Bernstein, a existência de injeções em ambos os sentidos implica existência de bijeção, logo
.
Esse argumento é padrão e mostra concretamente porque dimensões diferentes podem produzir a mesma cardinalidade quando o corpo é infinito.
Passo 6
Enunciado geral e condições em que a implicação vale.
- Em geral, para um corpo
de cardinalidade e um espaço vetorial com base de cardinalidade , tem-se, quando é infinito,
Dessa fórmula segue que se
é infinito então muitos valores de
diferentes podem dar a mesma
(por exemplo qualquer
finito e
dá
). Por isso, para campos infinitos a cardinalidade do espaço não determina a dimensão.
- Se
é finito (digamos ) então para qualquer dimensão finita vale , e para dimensões finitas a igualdade de cardinalidades implica igualdade de dimensões. (Para dimensões infinitas sobre corpo finito a situação depende da teoria dos cardinais; normalmente para infinito.)
Passo 7
Conclusão e incentivo final.
- Resumindo: a resposta geral é não —
não garante . Um contraexemplo simples e familiar é e sobre . - Entretanto, em casos particulares (por exemplo:
finito e finitas) a igualdade de cardinalidades implica igualdade de dimensões.
Força aí: o truque padrão em provas é sempre separar casos (campo finito vs campo infinito; dimensões finitas vs infinitas) e procurar um contraexemplo simples quando o campo for infinito.
Resposta
Não. Por exemplo, sobre
tem-se
mas
. (Observação: se
é finito e ambas as dimensões são finitas, então
implica
.)