Seja V=M2, o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 sobre o campo dos reais, e S=[ccx & -x 0 & 0] in M2 / x in R. Verifique se S é um subespaço vetorial de M2. (1.25p.)

Passo 1

O enunciado diz que V=M2(R) é o espaço de todas as matrizes 2times2 e
S=x & -x0 & 0:xinR.
Para mostrar que S é subespaço vetorial de V precisamos verificar três propriedades:
  1. 02times2in S.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que 02times2in S. Para x=0 temos
0 & -0 0 & 0 =0 & 0 0 & 0 =02times2,
logo o vetor zero pertence a S.

Passo 3

Mostramos o fechamento em soma. Sejam x,yinR e
A=x & -x0 & 0, B=y & -y0 & 0
Então
A+B =x+y & -(x+y)0 & 0,
que é da forma z & -z0 & 0 com z=x+y, logo A+Bin S.

Passo 4

Mostramos o fechamento em multiplicação escalar. Para lambdainR e
A=x & -x0 & 0in S
temos
lambda A =lambda x & -lambda x0 & 0,
que é da forma z & -z0 & 0 com z=lambda x, logo lambda Ain S.

Resposta

S é subespaço vetorial de M2(R).

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