Seja V=v in R / v>0, o conjunto dos números reais positivos, e as operações de adição e produto por um escalar definidas da seguinte forma:
c u oplus v=u v, forall u, v in V alpha odot u=u^alpha, forall alpha in R, forall u in V
Prove se (V, oplus, odot) é um espaço vetorial. Se houver, justifique quais dos axiomas não são satisfeitos. (2.5p.)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V = vinRmid v>0
com a “adição”
uoplus v = uv
e o “produto por escalar”
alphaodot u = u^alpha
Queremos verificar se (V,oplus,odot) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso checamos:
  1. (V,oplus) é grupo abeliano;
  2. fechamento em odot;
  3. axiomas de compatibilidade e identidade em odot;
  4. leis distributivas.

Passo 2

Mostramos que (V,oplus) é grupo abeliano:
  • Fechamento: se u,v>0 então uoplus v=uv>0, logo uvin V.
  • Associatividade:
(uoplus v)oplus w = (uv)w = u(vw) = uoplus(voplus w)
  • Elemento neutro: ein V tal que uoplus e=u é e=1, pois ucdot1=u.
  • Inverso: para cada u>0 existe u^-1>0 com uoplus u^-1=uu^-1=1.
  • Comutatividade:
uoplus v = uv = vu = voplus u

Passo 3

Verificamos fechamento e compatibilidade de escalares:
  • Fechamento em odot: para alphainR e u>0, u^alpha>0, então alphaodot uin V.
  • Compatibilidade de escalares:
(alphabeta)odot u = u^alphabeta e alphaodot(betaodot u) = alphaodotl(u^betar) = (u^beta)^alpha = u^betaalpha = u^alphabeta
  • Escalar unitário:
1odot u = u^1 = u

Passo 4

Verificamos as leis distributivas:
  • Distribuição de odot sobre oplus na entrada de vetores:
alphaodot(uoplus v) = (uv)^alpha = u^alphav^alpha = (alphaodot u)oplus(alphaodot v)
  • Distribuição de odot sobre a soma de escalares:
(alpha+beta)odot u = u^alpha+beta = u^alphau^beta = (alphaodot u)oplus(betaodot u)

Resposta

Todos os axiomas de espaço vetorial sobre R são satisfeitos. Portanto (V,oplus,odot) é um espaço vetorial.

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