Seja
, o conjunto dos números reais positivos, e as operações de adição e produto por um escalar definidas da seguinte forma:
Prove se
é um espaço vetorial. Se houver, justifique quais dos axiomas não são satisfeitos. (2.5p.)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a “adição”
e o “produto por escalar”
Queremos verificar se
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso checamos:
-
é grupo abeliano; - fechamento em
; - axiomas de compatibilidade e identidade em
; - leis distributivas.
Passo 2
Mostramos que
é grupo abeliano:
- Fechamento: se
então , logo . - Associatividade:
- Elemento neutro:
tal que é , pois . - Inverso: para cada
existe com . - Comutatividade:
Passo 3
Verificamos fechamento e compatibilidade de escalares:
- Fechamento em
: para e , , então . - Compatibilidade de escalares:
- Escalar unitário:
Passo 4
Verificamos as leis distributivas:
- Distribuição de
sobre na entrada de vetores:
- Distribuição de
sobre a soma de escalares:
Resposta
Todos os axiomas de espaço vetorial sobre
são satisfeitos. Portanto
é um espaço vetorial.