Exercício 12. Verifique es as retas e dos intens abaixo são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção:

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r1: x=3+h,;y=1+2h,;z=2-h
r2: x=5+3t,;y=-3-2t,;z=4+t
Queremos ver se existem valores de h e t que façam as coordenadas coincidir, isto é, resolver um sistema linear para determinar se as retas se intersectam e, em caso afirmativo, achar o ponto de interseção.

Passo 2

Igualamos as coordenadas de r1 e r2, obtendo o sistema
3 + h = 5 + 3t,
1 + 2h = -3 - 2t,
2 - h = 4 + t

Passo 3

Reescrevendo cada equação em forma linear em h e t:
h - 3t = 2,
2h + 2t = -4 ;Longrightarrow; h + t = -2,
-,h - t = 2 ;Longrightarrow; h + t = -2
As duas últimas são idênticas, mostrando consistência e duas equações independentes para as duas incógnitas.

Passo 4

Resolvendo
h - 3t = 2, h + t = -2,
subtraímos a segunda da primeira:
(h - 3t) - (h + t) = 2 - (-2)Longrightarrow -4t = 4Longrightarrow t = -1
Então h + (-1) = -2 h = -1.

Passo 5

Para h = -1, o ponto em r1 é
x = 3 + (-1) = 2, y = 1 + 2(-1) = -1, z = 2 - (-1) = 3
Verificamos que em t=-1 o ponto em r2 também é (2,-1,3), confirmando a interseção.

Resposta

As retas são concorrentes e intersectam-se no ponto (2,-1,3).

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