Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno e u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2} \in V. Expanda as expressões dadas.
\left\langle 5 u_{1}+8 u_{2}, 6 v_{1}-7 v_{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá vetores u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in V e pede para expandir a expressão
\left\langle 5u_{1}+8u_{2},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle.
Ou seja: transformar essa expressão em uma soma de produtos escalares simples entre os vetores u_i e v_j, aplicando as propriedades do produto interno.

Passo 2

Vamos lembrar as propriedades do produto interno em um espaço vetorial sobre \mathbb{R} que vamos usar (explicando com calma):
  • Linearidade na primeira coordenada: para escalares a,b\in\mathbb{R} e vetores x,y,z\in V vale \left\langle a x + b y,\, z\right\rangle = a\left\langle x,z\right\rangle + b\left\langle y,z\right\rangle.Isso significa que podemos “distribuir” a soma e puxar os escalares para fora do produto interno.
  • Linearidade também na segunda coordenada (em espaços sobre \mathbb{R} o produto interno é bilinear): para escalares c,d\in\mathbb{R} e vetores x,y,z\in V \left\langle x,\, c y + d z\right\rangle = c\left\langle x,y\right\rangle + d\left\langle x,z\right\rangle.
  • Simetria: para todos x,y\in V tem-se \left\langle x,y\right\rangle = \left\langle y,x\right\rangle. (Não vamos precisar trocar ordens aqui, mas é bom saber.)
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivéssemos \langle 2x+y, 3z\rangle, primeiro usamos linearidade na primeira coordenada e depois puxamos o 3 para fora, obtendo 2\cdot 3\langle x,z\rangle + 1\cdot 3\langle y,z\rangle.

Passo 3

Aplique a linearidade na primeira coordenada à expressão dada: puxamos os escalares 5 e 8 e separamos a soma nos u's.
\left\langle 5u_{1}+8u_{2},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle = 5\left\langle u_{1},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle + 8\left\langle u_{2},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade na segunda coordenada em cada um dos dois termos obtidos: para cada \left\langle u_i,\,6v_1-7v_2\right\rangle distribuímos a soma e puxamos os escalares 6 e -7 para fora.
\left\langle u_{1},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle = 6\left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle -7\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle,
\left\langle u_{2},\,6v_{1}-7v_{2}\right\rangle = 6\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle -7\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle.

Passo 5

Substituindo essas expressões em (Passo 3) e distribuindo os 5 e 8 obtemos uma soma de quatro termos, com os escalares multiplicados:
5\bigl(6\left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle -7\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle\bigr) +8\bigl(6\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle -7\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle\bigr).
Escrevendo os fatores escalares explicitamente como produtos:
5\cdot 6\left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle - 5\cdot 7\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle + 8\cdot 6\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle - 8\cdot 7\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle.

Resposta

30\left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle -35\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle +48\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle -56\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle

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