Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno e
. Expanda as expressões dadas.
Passo 1
O enunciado dá vetores
e pede para expandir a expressão
Ou seja: transformar essa expressão em uma soma de produtos escalares simples entre os vetores
e
, aplicando as propriedades do produto interno.
Passo 2
Vamos lembrar as propriedades do produto interno em um espaço vetorial sobre
que vamos usar (explicando com calma):
- Linearidade na primeira coordenada: para escalares
e vetores vale Isso significa que podemos “distribuir” a soma e puxar os escalares para fora do produto interno. - Linearidade também na segunda coordenada (em espaços sobre
o produto interno é bilinear): para escalares e vetores - Simetria: para todos
tem-se . (Não vamos precisar trocar ordens aqui, mas é bom saber.)
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivéssemos
, primeiro usamos linearidade na primeira coordenada e depois puxamos o
para fora, obtendo
.
Passo 3
Aplique a linearidade na primeira coordenada à expressão dada: puxamos os escalares
e
e separamos a soma nos
's.
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade na segunda coordenada em cada um dos dois termos obtidos: para cada
distribuímos a soma e puxamos os escalares
e
para fora.
Passo 5
Substituindo essas expressões em (Passo 3) e distribuindo os
e
obtemos uma soma de quatro termos, com os escalares multiplicados:
Escrevendo os fatores escalares explicitamente como produtos: