Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Considere no plano dois pontos distintos
e
, tais que a distância
. Seja um número real
tal que
. Ao conjunto de todos os pontos
do plano tais que
dá-se o nome de hipérbole.
Considere no plano dois pontos distintos
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Dois pontos distintos
e no plano, com distância entre eles
- Um número real
tal que
- A afirmação que devemos analisar: “Ao conjunto de todos os pontos
do plano tais que dá‑se o nome de hipérbole.”
O enunciado pede que se mostre que as afirmações fornecidas são falsas. Em particular, é preciso justificar por que a afirmação que nomeia o conjunto acima como “hipérbole” está errada (e, se houver outras afirmações implícitas, apontá‑las e justificá‑las).
Passo 2
Primeira coisa: lembrar (e entender) as definições corretas de elipse e hipérbole — isso é essencial para identificar o erro do enunciado.
- Definição correta de elipse: o lugar geométrico dos pontos
do plano tais que a soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a é uma elipse. Em símbolos:
é uma elipse, desde que
(isso garante que a constante
seja maior que a distância entre os focos).
- Definição correta de hipérbole: o lugar geométrico dos pontos
do plano tais que a diferença (em módulo) das distâncias aos dois focos é constante e igual a é uma hipérbole. Em símbolos:
é uma hipérbole. Nesta situação o parâmetro
e
satisfazem
(ou seja, a distância entre focos
é maior que
).
Observação intuitiva: soma fixa → elipse; diferença fixa → hipérbole. Também note que para a elipse é necessário
(equivalente a
), enquanto para a hipérbole temos
(equivalente a
).
Passo 3
Agora vou provar algebraicamente que a condição
gera a equação canônica de uma elipse, justamente para confirmar a definição dada acima e mostrar que o enunciado errou ao chamar o lugar de “hipérbole”.
Coloco os focos em coordenadas convenientes (isso é padrão e não altera a geometria):
e
. Seja
um ponto genérico. Então as distâncias são
A condição do enunciado é
Passo 4
Faço uma manipulação algébrica cuidadosa (explico cada passo) para obter a equação cartesiana.
- Calculo a diferença
:
- Multiplico e divido convenientemente usando
. Note que
Comparando com o item 1) obtemos
- Agora resolvo o sistema formado por
e . Somando e subtraindo:
- Uso
. Substituo :
Expando ambos os lados:
Cancelei
em ambos os lados e reorganizo:
Multiplico por
para limpar denominador:
Agrupando termos e fatorando
obtemos (após algumas linhas de álgebra algébrica elementar)
- Escrevo na forma padrão mais conhecida:
Essa é precisamente a equação canônica de uma elipse com semi-eixo maior
e semi-eixo menor
. Para que
(ou seja, para a elipse ser real e não degenerada) precisamos de
, ou seja
, que equivale exatamente à hipótese
dada no enunciado.
Passo 5
Resumo da implicação das contas:
- A condição
leva, com , à equação
logo o lugar geométrico é uma elipse (e não uma hipérbole).
- A hipótese numérica
(ou ) é, aliás, exatamente a condição necessária para que a soma seja maior que a distância entre os focos — sem isso não haveria pontos satisfazendo a condição ou teríamos uma degeneração. Portanto a desigualdade é correta no contexto da elipse. - A hipérbole está associada a uma condição diferente:
. Para a hipérbole válida tem‑se (ou ) e a equação canônica fica do tipo
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: tome
e
(então
). Temos
e a curva é a elipse
Por exemplo, o ponto
satisfaz a equação e verifica
. Não é uma hipérbole.
Resposta
Falso — o conjunto
é uma elipse (equação
com
), não uma hipérbole.