Questão: Todas as afirmações a seguir são falsas. Justifique o porquê.
Considere no plano dois pontos distintos F_{1} e F_{2}, tais que a distância d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 c>0. Seja um número real a>0 tal que 2 a>2 c. Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a dá-se o nome de hipérbole.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dois pontos distintos F_{1} e F_{2} no plano, com distância entre eles
d(F_{1},F_{2})=2c>0.
  • Um número real a>0 tal que
2a>2c.
  • A afirmação que devemos analisar: “Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a dá‑se o nome de hipérbole.”
O enunciado pede que se mostre que as afirmações fornecidas são falsas. Em particular, é preciso justificar por que a afirmação que nomeia o conjunto acima como “hipérbole” está errada (e, se houver outras afirmações implícitas, apontá‑las e justificá‑las).

Passo 2

Primeira coisa: lembrar (e entender) as definições corretas de elipse e hipérbole — isso é essencial para identificar o erro do enunciado.
  • Definição correta de elipse: o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a soma das distâncias aos dois focos é constante e igual a 2a é uma elipse. Em símbolos:
\{P:\\ d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a\}
é uma elipse, desde que a>c (isso garante que a constante 2a seja maior que a distância entre os focos).
  • Definição correta de hipérbole: o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que a diferença (em módulo) das distâncias aos dois focos é constante e igual a 2a é uma hipérbole. Em símbolos:
\{P:\\ |\,d(P,F_1)-d(P,F_2)\,|=2a\}
é uma hipérbole. Nesta situação o parâmetro c e a satisfazem c>a (ou seja, a distância entre focos 2c é maior que 2a).
Observação intuitiva: soma fixa → elipse; diferença fixa → hipérbole. Também note que para a elipse é necessário a>c (equivalente a 2a>2c), enquanto para a hipérbole temos c>a (equivalente a 2c>2a).

Passo 3

Agora vou provar algebraicamente que a condição
d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a
gera a equação canônica de uma elipse, justamente para confirmar a definição dada acima e mostrar que o enunciado errou ao chamar o lugar de “hipérbole”.
Coloco os focos em coordenadas convenientes (isso é padrão e não altera a geometria): F_{1}=(-c,0) e F_{2}=(c,0). Seja P=(x,y) um ponto genérico. Então as distâncias são
r_{1}=d(P,F_{1})=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}, \qquad r_{2}=d(P,F_{2})=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}.
A condição do enunciado é
r_{1}+r_{2}=2a.

Passo 4

Faço uma manipulação algébrica cuidadosa (explico cada passo) para obter a equação cartesiana.
  1. Calculo a diferença r_{1}^{2}-r_{2}^{2}:
r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}-\big((x-c)^{2}+y^{2}\big)=4cx.
  1. Multiplico e divido convenientemente usando r_{1}+r_{2}=2a. Note que
r_{1}^{2}-r_{2}^{2}=(r_{1}-r_{2})(r_{1}+r_{2})=(r_{1}-r_{2})\cdot 2a.
Comparando com o item 1) obtemos
(r_{1}-r_{2})\cdot 2a = 4c x \quad\Rightarrow\quad r_{1}-r_{2}=\frac{2c x}{a}.
  1. Agora resolvo o sistema formado por r_{1}+r_{2}=2a e r_{1}-r_{2}=\dfrac{2c x}{a}. Somando e subtraindo:
r_{1}=a+\frac{c x}{a},\qquad r_{2}=a-\frac{c x}{a}.
  1. Uso r_{1}^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}. Substituo r_{1}:
\left(a+\frac{c x}{a}\right)^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}.
Expando ambos os lados:
a^{2}+2c x+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}} = x^{2}+2c x + c^{2}+y^{2}.
Cancelei 2c x em ambos os lados e reorganizo:
a^{2}-c^{2} + \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}} - x^{2} - y^{2} = 0.
Multiplico por a^{2} para limpar denominador:
a^{4}-c^{2}a^{2} + c^{2}x^{2} - a^{2}x^{2} - a^{2}y^{2} = 0.
Agrupando termos e fatorando (a^{2}-c^{2}) obtemos (após algumas linhas de álgebra algébrica elementar)
x^{2}\frac{1}{a^{2}} + y^{2}\frac{1}{a^{2}-c^{2}} = 1.
  1. Escrevo na forma padrão mais conhecida:
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, \qquad\text{onde}\qquad b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Essa é precisamente a equação canônica de uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor b. Para que b^{2}>0 (ou seja, para a elipse ser real e não degenerada) precisamos de a^{2}-c^{2}>0, ou seja a>c, que equivale exatamente à hipótese 2a>2c dada no enunciado.

Passo 5

Resumo da implicação das contas:
  • A condição r_{1}+r_{2}=2a leva, com a>c, à equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1,
logo o lugar geométrico é uma elipse (e não uma hipérbole).
  • A hipótese numérica 2a>2c (ou a>c) é, aliás, exatamente a condição necessária para que a soma 2a seja maior que a distância entre os focos 2c — sem isso não haveria pontos satisfazendo a condição ou teríamos uma degeneração. Portanto a desigualdade 2a>2c é correta no contexto da elipse.
  • A hipérbole está associada a uma condição diferente: |r_{1}-r_{2}|=2a. Para a hipérbole válida tem‑se c>a (ou 2c>2a) e a equação canônica fica do tipo
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, \qquad\text{com}\qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: tome c=3 e a=5 (então 2a=10>6=2c). Temos b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-9=16 e a curva é a elipse
\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}{}}{16}=1.
Por exemplo, o ponto (0,4) satisfaz a equação e verifica d((0,4),F_{1})+d((0,4),F_{2})=2\sqrt{3^{2}+4^{2}}=2\cdot 5=2a. Não é uma hipérbole.

Resposta

Falso — o conjunto \{P:\\ d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a\} é uma elipse (equação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1 com a>c), não uma hipérbole.

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