Questão: Considere no \mathbb{R}^{2} a parábola \mathcal{P} dada pela equação y^{2}+12 x+2 y+25=0.
(a) (1,5 pt) Escreva a equação acima na forma canônica e encontre o vértice, o foco, o eixo e a diretriz da parábola \mathcal{P}.
(b) (1,0 pt) Parametrize a parábola \mathcal{P}.
(c) (1,0 pt) Encontre uma equação polar para a parábola \mathcal{P}.

Passo 1

O enunciado dá a parábola \mathcal{P} no plano por
y^{2}+12x+2y+25=0.
Pede-se:
  • (a) escrever essa equação na forma canônica e encontrar o vértice, o foco, o eixo e a diretriz de \mathcal{P};
  • (b) parametrizar \mathcal{P};
  • (c) encontrar uma equação polar para \mathcal{P}.
Informações relevantes dadas diretamente no enunciado:
  • A equação explícita da curva é y^{2}+2y+12x+25=0.
  • Não há indicação explícita de mudança de polo para coordenadas polares, portanto pode-se apresentar a equação polar de forma conveniente (uma escolha natural é usar o foco como polo, que produz a forma mais simples para uma cônica com excentricidade e=1).

Passo 2

Colocar a equação na forma canônica fazendo completamento de quadrado nas potências de y.
Começo reescrevendo os termos envolvendo y:
y^{2}+2y+12x+25=0.
Faço completamento de quadrado para y^{2}+2y. Lembra: para completar o quadrado de y^{2}+2y adiciona-se e subtrai-se 1 (pois (y+1)^2=y^2+2y+1). Assim:
(y^{2}+2y+1)+12x+25-1=0.
Portanto
(y+1)^2 +12x +24 =0.
Isolando x,
12x = -(y+1)^2 -24,
ou seja
x + 2 = -\frac{1}{12}(y+1)^2.
Reescrevendo na forma canônica usual (y-k)^2 = 4p(x-h):
(y+1)^2 = -12(x+2).

Passo 3

Interpretar a forma canônica encontrada e extrair vértice, parâmetro p, foco, eixo e diretriz.
A forma padrão é (y-k)^2 = 4p(x-h). Comparando com
(y+1)^2 = -12(x+2),
temos:
h=-2,\qquad k=-1,\qquad 4p = -12 \Rightarrow p = -3.
Significado de p: para uma parábola horizontal, p é a distância (com sinal) do vértice até o foco; o sinal indica a direção (positivo para a direita se a forma for (y-k)^2=4p(x-h) com p>0, negativo para a esquerda se p<0).
  • Vértice: (h,k)=(-2,-1).
  • Como p=-3, o foco fica em (h+p,k)=(-2-3,-1)=(-5,-1).
  • Eixo da parábola: reta horizontal que passa pelo vértice, isto é y=k. Logo o eixo é
y=-1.
  • Diretriz: é a reta x = h - p. Calculando:
x = -2 - (-3) = 1,
ou seja a diretriz é x=1.
Observação geométrica: como 4p<0 a parábola abre para a esquerda (conferindo que o foco (-5,-1) está à esquerda do vértice (-2,-1)).

Passo 4

Parametrização da parábola.
Há uma parametrização padrão para parábolas na forma (y-k)^2 = 4p(x-h). Tomando um parâmetro t\in\mathbb{R}, uma escolha conveniente é
y-k = 2p\,t,\qquad x-h = p\,t^{2}.
Explicação rápida de por que isso funciona: substituindo essas expressões em (y-k)^2 obtém-se (2pt)^2=4p(pt^2)=4p(x-h), ou seja, satisfaz a equação da parábola para todo t.
Aplicando ao nosso caso com h=-2, k=-1 e p=-3:
y+1 = 2(-3)t = -6t,\qquad x+2 = -3 t^{2}.
Portanto uma parametrização é
\boxed{\,x(t) = -2 - 3t^{2},\qquad y(t) = -1 - 6t,\qquad t\in\mathbb{R}\,}
(qualquer reparametrização com t linearmente relacionada também é válida).
Como alternativa simples, pode-se igualmente usar y como parâmetro: a partir de (y+1)^2 = -12(x+2) tem-se
x = -2 - \frac{1}{12}(y+1)^2,
logo (x,y) = \bigl(-2 - \tfrac{1}{12}(y+1)^2,\; y\bigr) é também uma parametrização com parâmetro sendo a própria coordenada y.

Passo 5

Equação polar da parábola — forma simples tomando o foco como polo.
Explicação do método: uma cônica pode ser descrita como o conjunto de pontos cuja razão entre distância ao foco e distância à diretriz é a excentricidade e. Para uma parábola e=1. Se escolhermos como polo (origem das coordenadas polares) o foco da parábola e como eixo polar uma direção paralela ao eixo x original, e se a diretriz for uma reta vertical do tipo x' = d (onde x' é a coordenada cartesiana no sistema com origem no foco), então a equação polar padrão é
r = \frac{d}{1+\cos\theta}.
Aqui d é a distância (perpendicular) do foco até a diretriz.
No nosso caso:
  • O foco é (-5,-1). Se colocamos o polo nesse ponto e mantemos o eixo polar apontando para a direção positiva do eixo x original, a diretriz x=1 (reta vertical) fica a uma distância perpendicular
d = |1 - (-5)| = 6
à direita do foco. Logo, com polo no foco, a equação polar fica
\boxed{\,r = \frac{6}{1+\cos\theta}\,}
(escolhendo \theta=0 na direção do eixo x positivo original). Esta é uma equação polar simples e clássica de uma parábola com foco na origem polar e diretriz vertical a uma distância d do foco.

Passo 6

Equação polar em coordenadas polares com polo no ponto original (0,0) (opcional, forma explícita por substituição).
Se preferir a equação polar com polo no origem cartesiana (0,0), substitui-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta na forma canônica (y+1)^2 = -12(x+2). Fazendo isso:
(r\sin\theta + 1)^2 = -12(r\cos\theta + 2).
Expandindo e recolhendo termos em r obtém-se um polinômio quadrático em r:
\sin^{2}\theta\, r^{2} + (2\sin\theta + 12\cos\theta)\,r + 25 = 0.
Assim, para \sin\theta\neq 0 a solução para r é dada por fórmula quadrática:
\boxed{\,r(\theta) = \frac{-(2\sin\theta+12\cos\theta)\pm\sqrt{(2\sin\theta+12\cos\theta)^{2}-100\sin^{2}\theta}}{2\sin^{2}\theta}\,}
onde o sinal apropriado (geralmente o que produz r\ge 0) deve ser escolhido case a case. Note que esta forma é algebraicamente correta mas menos elegante do que a equação com polo no foco; também requer atenção a ângulos \theta onde \sin\theta=0 (esses casos tratam-se separadamente e reduzem a uma equação linear em r).

Resposta

(a) (y+1)^2 = -12(x+2). Vértice: (-2,-1). Foco: (-5,-1). Eixo: y=-1. Diretriz: x=1.
(b) x(t) = -2 - 3t^{2},\quad y(t) = -1 - 6t,\quad t\in\mathbb{R}.
(c) Com polo no foco (-5,-1) e eixo polar paralelo ao eixo x: \displaystyle r=\frac{6}{1+\cos\theta}.
Como equação polar relativa à origem (0,0): \displaystyle \sin^{2}\theta\, r^{2}+(2\sin\theta+12\cos\theta)\,r+25=0 (logo r(\theta) dada pela fórmula quadrática mostrada).

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