Questão: Considere no
a parábola
dada pela equação
.
(a) (1,5 pt) Escreva a equação acima na forma canônica e encontre o vértice, o foco, o eixo e a diretriz da parábola
.
(b) (1,0 pt) Parametrize a parábola
.
(c) (1,0 pt) Encontre uma equação polar para a parábola
.
(a) (1,5 pt) Escreva a equação acima na forma canônica e encontre o vértice, o foco, o eixo e a diretriz da parábola
(b) (1,0 pt) Parametrize a parábola
(c) (1,0 pt) Encontre uma equação polar para a parábola
Passo 1
O enunciado dá a parábola
no plano por
Pede-se:
- (a) escrever essa equação na forma canônica e encontrar o vértice, o foco, o eixo e a diretriz de
; - (b) parametrizar
; - (c) encontrar uma equação polar para
.
Informações relevantes dadas diretamente no enunciado:
- A equação explícita da curva é
. - Não há indicação explícita de mudança de polo para coordenadas polares, portanto pode-se apresentar a equação polar de forma conveniente (uma escolha natural é usar o foco como polo, que produz a forma mais simples para uma cônica com excentricidade
).
Passo 2
Colocar a equação na forma canônica fazendo completamento de quadrado nas potências de
.
Começo reescrevendo os termos envolvendo
:
Faço completamento de quadrado para
. Lembra: para completar o quadrado de
adiciona-se e subtrai-se
(pois
). Assim:
Portanto
Isolando
,
ou seja
Reescrevendo na forma canônica usual
:
Passo 3
Interpretar a forma canônica encontrada e extrair vértice, parâmetro
, foco, eixo e diretriz.
A forma padrão é
. Comparando com
temos:
Significado de
: para uma parábola horizontal,
é a distância (com sinal) do vértice até o foco; o sinal indica a direção (positivo para a direita se a forma for
com
, negativo para a esquerda se
).
- Vértice:
. - Como
, o foco fica em . - Eixo da parábola: reta horizontal que passa pelo vértice, isto é
. Logo o eixo é
- Diretriz: é a reta
. Calculando:
ou seja a diretriz é
.
Observação geométrica: como
a parábola abre para a esquerda (conferindo que o foco
está à esquerda do vértice
).
Passo 4
Parametrização da parábola.
Há uma parametrização padrão para parábolas na forma
. Tomando um parâmetro
, uma escolha conveniente é
Explicação rápida de por que isso funciona: substituindo essas expressões em
obtém-se
, ou seja, satisfaz a equação da parábola para todo
.
Aplicando ao nosso caso com
,
e
:
Portanto uma parametrização é
(qualquer reparametrização com
linearmente relacionada também é válida).
Como alternativa simples, pode-se igualmente usar
como parâmetro: a partir de
tem-se
logo
é também uma parametrização com parâmetro sendo a própria coordenada
.
Passo 5
Equação polar da parábola — forma simples tomando o foco como polo.
Explicação do método: uma cônica pode ser descrita como o conjunto de pontos cuja razão entre distância ao foco e distância à diretriz é a excentricidade
. Para uma parábola
. Se escolhermos como polo (origem das coordenadas polares) o foco da parábola e como eixo polar uma direção paralela ao eixo
original, e se a diretriz for uma reta vertical do tipo
(onde
é a coordenada cartesiana no sistema com origem no foco), então a equação polar padrão é
Aqui
é a distância (perpendicular) do foco até a diretriz.
No nosso caso:
- O foco é
. Se colocamos o polo nesse ponto e mantemos o eixo polar apontando para a direção positiva do eixo original, a diretriz (reta vertical) fica a uma distância perpendicular
à direita do foco. Logo, com polo no foco, a equação polar fica
(escolhendo
na direção do eixo
positivo original). Esta é uma equação polar simples e clássica de uma parábola com foco na origem polar e diretriz vertical a uma distância
do foco.
Passo 6
Equação polar em coordenadas polares com polo no ponto original
(opcional, forma explícita por substituição).
Se preferir a equação polar com polo no origem cartesiana
, substitui-se
e
na forma canônica
. Fazendo isso:
Expandindo e recolhendo termos em
obtém-se um polinômio quadrático em
:
Assim, para
a solução para
é dada por fórmula quadrática:
onde o sinal apropriado (geralmente o que produz
) deve ser escolhido case a case. Note que esta forma é algebraicamente correta mas menos elegante do que a equação com polo no foco; também requer atenção a ângulos
onde
(esses casos tratam-se separadamente e reduzem a uma equação linear em
).
Resposta
(a)
. Vértice:
. Foco:
. Eixo:
. Diretriz:
.
(b)
(c) Com polo no foco
e eixo polar paralelo ao eixo
:
Como equação polar relativa à origem :
(logo
dada pela fórmula quadrática mostrada).
Como equação polar relativa à origem