Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x \sin \frac{1}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 1, \text { se } x=0 \end{array}\right.
Prove que f é integrável.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} x\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr),&x\neq0,\\\\ 1,&x=0. \end{cases}
O que precisamos mostrar é que f é integradävel no sentido de Riemann em [0,1]. Para isso usaremos o critério de Lebesgue para integrabilidade: “uma função limitada em um intervalo fechado é Riemann–integrável se, e somente se, o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida zero.”

Passo 2

Primeiro, f é limitada em [0,1]. De fato, para x\neq0 temos
\bigl|x\sin(\tfrac1x)\bigr|\le x\le1,
e em x=0 vale f(0)=1. Logo
|f(x)|\le1\quad\forall x\in[0,1].

Passo 3

Mostremos agora onde f é contínua.
  1. Se x_0\in(0,1], então x\mapsto x\sin(1/x) é composição de funções contínuas em x_0, logo f é contínua em todo x_0>0.
  2. Calculemos o limite lateral em 0:
\lim_{x\to0}x\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr)
existe e vale 0, pois |x\sin(1/x)|\le x e x\to0.

Passo 4

Em x=0 temos \lim_{x\to0}f(x)=0\neq f(0)=1, isto é, f é descontinua apenas em x=0. Portanto o conjunto de descontinuidade de f é \{0\}.

Passo 5

O conjunto \{0\} tem medida zero. Pelo critério de Lebesgue, uma função limitada em [0,1] cuja descontinuidade está num conjunto de medida zero é Riemann–integrável.

Resposta

f é integrável em [0,1].

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