Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{\sin x}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.
Prove que f é integrável.

Passo 1

Resumindo, temos a função [f:[0,1]\to\mathbb{R}) definida por
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x},&x\neq0,\\[1ex] 0,&x=0, \end{cases}
e queremos mostrar que f\] é integrável no sentido de Riemann em \([0,1]. Para isso lembraremos o critério de Riemann: uma função limitada em um intervalo compacto é Riemann-integrável se, e somente se, o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida zero. Vamos então (1) verificar que f é limitada, (2) identificar os pontos de descontinuidade e (3) concluir pela medida zero desse conjunto.]

Passo 2

Mostramos que f é limitada em [0,1]. Para x\neq0 vale a desigualdade clássica
\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1,
pois |\sin x|\le|x| para todo x. Em x=0 definimos f(0)=0. Logo
|f(x)|\le1\quad\text{para todo }x\in[0,1],
ou seja, f é limitada.

Passo 3

Analisamos a continuidade de f. Para x>0, \sin x e x são funções contínuas, e x\mapsto1/x também o é em (0,1]. Logo a composição x\mapsto\sin x\over x é contínua para todo x\in(0,1]. Em x=0, existe o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
mas definimos f(0)=0\neq1. Portanto f é descontínua apenas em x=0 e contínua em todo x\in(0,1].

Passo 4

Concluímos que o conjunto dos pontos de descontinuidade de f é \{0\}, que tem medida zero. Pelo teorema de Lebesgue sobre integrabilidade de Riemann, toda função limitada cujo conjunto de descontinuidade tem medida zero é Riemann‐integrável. Assim f é Riemann-integrável em [0,1].

Resposta

A função f é Riemann-integrável em [0,1].

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