Seja
uma função. Mostre que
é contínua se, e somente se, para todo conjunto fechado
, tem-se que
é um conjunto fechado em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre a continuidade de
e a seguinte propriedade topológica: “para todo conjunto fechado
, o pré-imagem
é fechado em
”. Vamos usar como base o fato clássico de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto, e a definição de continuidade via pré-imagem de abertos.
Passo 2
Suponha que
é contínua. Seja
fechado. Então o complementar
é aberto em
. Pela continuidade de
, a pré-imagem
é um conjunto aberto em
. Mas
Como o complementar de
em
é aberto, concluímos que
é fechado em
.
Passo 3
Agora suponha que para todo fechado
temos
fechado em
. Queremos mostrar que
é contínua, isto é, que a pré-imagem de qualquer aberto em
é aberto em
. Seja
aberto. Então
é fechado, de modo que por hipótese
é fechado em
. Mas novamente
Logo o complementar de
em
é fechado, o que implica que
é aberto em
. Assim
é contínua.
Resposta
A função
é contínua se, e somente se, para todo conjunto fechado
tem-se
fechado em
.