Seja f:[a, b] -> [a, b] uma função contínua. Mostre que f possui no mínimo um ponto fixo x_0 em [a, b] (um ponto tal que f(x0) = x0 ).

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função contínua que mapeia o intervalo nele mesmo, ou seja, . Precisamos provar que existe pelo menos um ponto em tal que . Esse ponto é chamado de ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função para facilitar a análise. Vamos chamar de a diferença entre e :
Como é contínua e é uma função linear contínua, também é contínua no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos avaliar nos extremos do intervalo:
  • Em :
Como está em , , então .
  • Em :
Como está em , , então .

Passo 4

Sabemos que e . Se , então , e é o ponto fixo que procuramos. Da mesma forma, se , então é o ponto fixo.

Passo 5

Caso contrário, temos que e . Como é contínua no intervalo , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe algum em tal que . Isso significa que:
Portanto, é um ponto fixo dentro do intervalo.

Resposta

Existe pelo menos um ponto em tal que .

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