Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto e calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
conforme
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
. A função é definida por:
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite. Se calcularmos o limite ao longo de diferentes caminhos para
e obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Passo 4
Vamos analisar dois caminhos:
-
Caminho 1: Aproximando-se ao longo deSubstituindo
na função: Então, o limite ao longo desse caminho é 0. -
Caminho 2: Aproximando-se ao longo deSubstituindo
na função: Conforme, tende a , dependendo da direção de aproximação.
Como os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes (um é 0 e o outro tende ao infinito), isso mostra que o limite geral não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, pois o limite não existe.