Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y)=cccx y-2 xx^2+y^2+2 x-4 y+5, & se & (x, y) neq(-1,2) 0, & se & (x, y)=(-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em um ponto lim(x, y) to (-1, 2) f(x, y) = f(-1, 2) se o limite de conforme se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) = x y - 2xx^2 + y^2 + 2x - 4y + 5, & se (x, y) neq (-1, 2) 0, & se (x, y) = (-1, 2) quando x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = (x + 1)^2 + (y - 2)^2 . A função é definida por:
f(x, y) = x(y - 2)(x + 1)^2 + (y - 2)^2
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
Então, a função fica:
Agora, vamos analisar o limite. Se calcularmos o limite ao longo de diferentes caminhos para e obtivermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos analisar dois caminhos:
  1. Caminho 1: Aproximando-se ao longo de f(x, 2) = x(2 - 2)(x + 1)^2 + (2 - 2)^2 = 0(x + 1)^2 = 0
    Substituindo f(-1, y) = -1(y - 2)0 + (y - 2)^2 = -(y - 2)(y - 2)^2 = -1y - 2 na função:
    Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
  2. Caminho 2: Aproximando-se ao longo de
    Substituindo na função:
    Conforme , tende a , dependendo da direção de aproximação.
Como os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes (um é 0 e o outro tende ao infinito), isso mostra que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite não existe.

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