Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua [\mathrm{a}, \mathrm{b}]. Mostre que existe \mathrm{c}>0 tal que |\mathrm{f}(\mathrm{x})| \leq \mathrm{c} para todo x \in[a, b].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função contínua f\colon [a,b]\to\mathbb{R} é limitada no intervalo fechado [a,b], ou seja, existe uma constante c>0 tal que
|f(x)|\le c
para todo x\in[a,b]. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Weierstrass (ou Teorema do Valor Extremo), que diz que uma função contínua em um conjunto compacto (como [a,b]) atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, o Teorema de Weierstrass garante que existem pontos x_{\min} e x_{\max} em [a,b] tais que
f(x_{\min})=\min_{x\in[a,b]}f(x)\quad\text{e}\quad f(x_{\max})=\max_{x\in[a,b]}f(x).
Defina
m = f(x_{\min}),\quad M = f(x_{\max}).
Logo, para todo x\in[a,b] vale
m \;\le\; f(x)\;\le\; M.

Passo 3

Para obter uma cota em valor absoluto, observe que
|f(x)| \;\le\;\max\bigl\{|m|,\;|M|\bigr\}
para todo x\in[a,b]. Basta então escolher
c = \max\bigl\{|m|,\;|M|\bigr\}.
Como m e M são números reais, c é um número finito e não negativo; além disso, se f não for identicamente zero, c>0.

Resposta

Escolhendo
c = \max\Bigl\{\bigl|f(x_{\min})\bigr|,\;\bigl|f(x_{\max})\bigr|\Bigr\},
temos |f(x)|\le c para todo x\in[a,b], como desejado.

Exercícios relacionados