Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua [\mathrm{a}, \mathrm{b}]. Mostre que existe \mathrm{c}>0 tal que |\mathrm{f}(\mathrm{x})| \leq \mathrm{c} para todo x \in[a, b].
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função contínua f\colon [a,b]\to\mathbb{R} é limitada no intervalo fechado [a,b], ou seja, existe uma constante c>0 tal que
|f(x)|\le c
para todo x\in[a,b]. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Weierstrass (ou Teorema do Valor Extremo), que diz que uma função contínua em um conjunto compacto (como [a,b]) atinge seu máximo e seu mínimo nesse conjunto.
Passo 2
Como f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, o Teorema de Weierstrass garante que existem pontos x_{\min} e x_{\max} em [a,b] tais que