Um barbante esticado de comprimento L é colocado sobre uma mesa. Uma formiga é colocada sobre o barbante de forma aleatória. Como a posição da formiga é aleatória, podemos concluir que qualquer posição dela é igualmente provável.
(a) Determine a densidade de probabilidade p(x) e verifique que a probabilidade total é a unidade.
(b) Calcule a probabilidade de a formiga se encontrar na metade esquerda do barbante.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a posição X da formiga sobre um barbante de comprimento L é igualmente provável em qualquer ponto de [0,L]. Vamos usar distribuição contínua uniforme e cálculo de integrais para determinar a densidade de probabilidade e a probabilidade de a formiga estar na metade esquerda.

Passo 2

Para uma variável contínua uniforme em [0,L], a densidade p(x) é constante dentro do intervalo e zero fora. Assim,
p(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{L}, & 0 \le x \le L,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 3

Verificamos que a probabilidade total é 1 calculando
\int_{-\infty}^{\infty} p(x)\,dx = \int_{0}^{L} \frac{1}{L}\,dx = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}dx = \frac{1}{L}\cdot L = 1.

Passo 4

Para achar a probabilidade de a formiga estar na metade esquerda [0,\tfrac{L}{2}], calculamos
P\bigl(0 \le X \le \tfrac{L}{2}\bigr) = \int_{0}^{L/2} \frac{1}{L}\,dx = \frac{1}{L}\cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

(a) p(x)=\frac{1}{L} para 0\le x\le L (e zero fora), e a probabilidade total é 1.
(b) A probabilidade de a formiga estar na metade esquerda do barbante é \tfrac{1}{2}.

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