Calcular a derivada parcial indicada:
\mathrm{F}_{y}(0,1) com \mathrm{F}(x, y)=e^{x y} \operatorname{sec} (x / y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de
F(x,y) = e^{x y}\,\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
em relação a y no ponto (0,1). O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para derivadas parciais e, no caso de \operatorname{sec}, a regra da cadeia, pois temos \operatorname{sec}(u) com u=x/y.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto para obter a derivada parcial geral:
F_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + e^{xy}\,\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl[\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Calculamos \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr). Como e^{xy} é função de xy, pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\bigr) = x\,e^{xy}.

Passo 4

Agora \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}[\operatorname{sec}(x/y)]. Primeiro, se u=x/y, então
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec} u\bigr)=\operatorname{sec} u\,\tan u \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =-\frac{x}{y^{2}}.
Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sec}(x/y)\bigr] =\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\Bigl(-\frac{x}{y^{2}}\Bigr).

Passo 5

Somando os termos do produto, a derivada parcial geral é
F_{y}(x,y) = \bigl(x\,e^{xy}\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + e^{xy}\,\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\,\Bigl(-\frac{x}{y^{2}}\Bigr).

Passo 6

Agora avaliamos em (x,y)=(0,1). Note que
e^{0\cdot 1}=1, \quad \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{0}{1}\bigr)=\operatorname{sec}(0)=1, \quad \tan\bigl(\tfrac{0}{1}\bigr)=\tan(0)=0, \quad x=0.
No primeiro termo aparece um fator x=0, e no segundo aparece \tan(0)=0 ou ainda -\tfrac{x}{y^2}=0. Logo ambos os termos são zero, resultando em
F_{y}(0,1)=0.

Resposta

0

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