Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e integrável. Defina para cada n \in \mathbb{N},
M(f ; n)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a+i h)
onde h=\frac{b-a}{n}. Prove que \lim _{n \rightarrow \infty} M(f ; n)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado considera uma função limitada e Riemann–integrável f:[a,b]\to\mathbb{R} e define, para cada n\in\mathbb{N}, o número
M(f;n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\bigl(a+i\,h\bigr),
onde h=(b-a)/n. O que se pede é mostrar que
\lim_{n\to\infty}M(f;n) =\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
O conteúdo principal usado será a convergência de somas de Riemann ao integral, visto que f é integrável.

Passo 2

Observe que, definindo
S_n \;=\;\sum_{i=1}^n f\bigl(a+i\,h\bigr)\,h,
temos exatamente uma soma de Riemann à direita para f no particionamento uniforme de [a,b] em n subintervalos de comprimento h. Logo
S_n =h\sum_{i=1}^n f\bigl(a+i\,h\bigr) =\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\bigl(a+i\,h\bigr) =(b-a)\,M(f;n).

Passo 3

Pelo teorema de convergência de somas de Riemann, como f é integrável em [a,b], toda sequência de somas de Riemann (com qualquer escolha de pontos de amostragem) converge para o integral:
\lim_{n\to\infty}S_n =\int_a^b f(x)\,dx.

Passo 4

Usando a relação S_n=(b-a)M(f;n), basta dividir o limite por (b-a):
\lim_{n\to\infty}M(f;n) =\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{b-a} =\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.

Resposta

\lim_{n\to\infty}M(f;n) =\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.

Exercícios relacionados