Seja
uma função limitada e integrável. Defina para cada
,
onde
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado considera uma função limitada e Riemann–integrável
e define, para cada
, o número
onde
. O que se pede é mostrar que
O conteúdo principal usado será a convergência de somas de Riemann ao integral, visto que
é integrável.
Passo 2
Observe que, definindo
temos exatamente uma soma de Riemann à direita para
no particionamento uniforme de
em
subintervalos de comprimento
. Logo
Passo 3
Pelo teorema de convergência de somas de Riemann, como
é integrável em
, toda sequência de somas de Riemann (com qualquer escolha de pontos de amostragem) converge para o integral:
Passo 4
Usando a relação
, basta dividir o limite por
: