Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada e integrável.
  • Se c \in(a, b) prove que a restrição de f ao intervalo [a, c] é limitada e integrável.
  • Prove que |f| é limitada.
  • Prove que |f| é integrável.
  • Prove que \left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x)| d x

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:[a,b]\to\mathbb{R} limitada e integrável em sentido de Riemann. Precisamos mostrar quatro coisas:
  1. Para c\in(a,b), a restrição de f a [a,c] também é limitada e integrável.
  2. A função \lvert f\rvert é limitada.
  3. A função \lvert f\rvert é integrável.
  4. Vale a desigualdade
\biggl\lvert\int_{a}^{b}f(x)\,dx\biggr\rvert\le\int_{a}^{b}\lvert f(x)\rvert\,dx.
Vamos usar como ferramenta principal a definição de integrabilidade de Riemann: para toda \varepsilon>0 existe partição P de [a,b] tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon,
onde U e L são, respectivamente, as somas superior e inferior de Darboux.

Passo 2

Provar que f|_{[a,c]} é limitada e integrável.
– Como f é limitada em [a,b], existe M>0 tal que
\lvert f(x)\rvert\le M\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Logo, em particular, \lvert f(x)\rvert\le M em [a,c], ou seja, a restrição é limitada pelo mesmo M.
– Para a integrabilidade, tome \varepsilon>0. Pela integrabilidade de f em [a,b] existe partição P de [a,b] com
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.
Considere P' a parte de P que fica em [a,c]; então P' é partição de [a,c]. Como ao passar para um subintervalo a soma superior não aumenta e a inferior não diminui, temos
U\bigl(f,P'\bigr)-L\bigl(f,P'\bigr)\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon,
portanto f|_{[a,c]} é integrável.

Passo 3

Provar que \lvert f\rvert é limitada.
Já vimos que existe M>0 com \lvert f(x)\rvert\le M em [a,b]. Mas isso diz exatamente que a função x\mapsto\lvert f(x)\rvert assume valores em [0,M]. Logo \lvert f\rvert é limitada por M.

Passo 4

Provar que \lvert f\rvert é integrável.
Seja \varepsilon>0. Pela integrabilidade de f existe partição P tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.
Em cada subintervalo I da partição, a oscilação de \lvert f\rvert satisfaz
\sup_I\lvert f\rvert-\inf_I\lvert f\rvert \;\le\; \sup_I f-\inf_I f,
pois \bigl||f(x)|-|f(y)|\bigr|\le|f(x)-f(y)|. Somando sobre todos os I e multiplicando pelos comprimentos, obtém-se
U\bigl(\lvert f\rvert,P\bigr)-L\bigl(\lvert f\rvert,P\bigr) \;\le\; U(f,P)-L(f,P) <\varepsilon.
Isso prova que \lvert f\rvert é integrável.

Passo 5

Provar a desigualdade triangular para integrais.
Para todo x\in[a,b] vale
-|f(x)|\;\le\;f(x)\;\le\;|f(x)|.
Aplicando o operador integral e usando a monotonicidade do integral de Riemann, segue
-\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx \;\le\; \int_{a}^{b}f(x)\,dx \;\le\; \int_{a}^{b}|f(x)|\,dx.
Tomando valor absoluto em \int_{a}^{b}f(x)\,dx, obtemos
\biggl\lvert\int_{a}^{b}f(x)\,dx\biggr\rvert \le \int_{a}^{b}|f(x)|\,dx.

Resposta

  1. f|_{[a,c]} é limitada e integrável.
  2. |f| é limitada.
  3. |f| é integrável.
  4. \displaystyle\bigl\lvert\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigr\rvert\le\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx.

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