Vamos usar como ferramenta principal a definição de integrabilidade de Riemann: para toda \varepsilon>0 existe partição P de [a,b] tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon,
onde U e L são, respectivamente, as somas superior e inferior de Darboux.
Passo 2
Provar que f|_{[a,c]} é limitada e integrável.
– Como f é limitada em [a,b], existe M>0 tal que
\lvert f(x)\rvert\le M\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Logo, em particular, \lvert f(x)\rvert\le M em [a,c], ou seja, a restrição é limitada pelo mesmo M.
– Para a integrabilidade, tome \varepsilon>0. Pela integrabilidade de f em [a,b] existe partição P de [a,b] com
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.
Considere P' a parte de P que fica em [a,c]; então P' é partição de [a,c]. Como ao passar para um subintervalo a soma superior não aumenta e a inferior não diminui, temos
Provar que \lvert f\rvert é limitada.
Já vimos que existe M>0 com \lvert f(x)\rvert\le M em [a,b]. Mas isso diz exatamente que a função x\mapsto\lvert f(x)\rvert assume valores em [0,M]. Logo \lvert f\rvert é limitada por M.
Passo 4
Provar que \lvert f\rvert é integrável.
Seja \varepsilon>0. Pela integrabilidade de f existe partição P tal que
U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.
Em cada subintervalo I da partição, a oscilação de \lvert f\rvert satisfaz