Para as questões abaixo, x] representa o maior inteiro menor ou igual a \(x\). Seja \(f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=x+[x]\), para \(x \in[0,2]\). Mostre que \(f\) é integrável em \([0,2]\) e calcule \(\int_{0}^{2} f(x) d x\).

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,2]\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x+[x],
onde [x] representa o maior inteiro menor ou igual a x. As perguntas são:
  • Mostrar que f é integrável em [0,2].
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição da função f através de x e do piso [x].
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • A notação [x] significa “floor”, ou seja, [x]=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.

Passo 2

Vamos entender o comportamento de [f) em subintervalos de [0,2]. O piso [x] é constante entre inteiros, então separemos os intervalos [0,1),\;[1,2) e os pontos inteiros.
  • Para x\in[0,1) vale [x]=0. Logo, para esses x,
f(x)=x+[x]=x+0=x.
  • Para x\in[1,2) vale [x]=1. Logo, para esses x,
f(x)=x+[x]=x+1.
  • Em x=2 temos [2]=2, portanto f(2)=2+2=4. Em x=1 temos [1]=1, portanto f(1)=1+1=2.
Resumo prático (útil para integrar): em quase todo o intervalo,
f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1,\\[4pt] x+1, & 1\le x<2, \end{cases}
com valores pontuais f(1)=2\] e \(f(2)=4.]

Passo 3

Agora vamos mostrar que f é integrável em [0,2].
Primeiro, f é uma função limitada em [0,2] porque em cada pedaço é linear e há apenas valores finitos; por exemplo, para x\in[0,2] temos 0\le x\le 2 e 0\le [x]\le 2, daí 0\le f(x)\le 4.
Segundo, identifique as descontinuidades de f. Em cada intervalo aberto (0,1) e (1,2) a função é continua (é uma função linear). Possíveis descontinuidades aparecem em pontos inteiros x=1 e x=2 (em x=0 a função é contínua). De fato:
  • Em x=1 há salto: \lim_{x\to1^-}f(x)=1 e \lim_{x\to1^+}f(x)=2.
  • Em x=2 há salto entre o limite à esquerda e o valor no ponto: \lim_{x\to2^-}f(x)=3 e f(2)=4.
Então o conjunto de pontos de descontinuidade é finito: \{1,2\}.
Teorema (critério prático de integrabilidade de Riemann): toda função limitada em um intervalo fechado cuja conjunto de pontos de descontinuidade tem medida zero (por exemplo, é finito) é Riemann-integrável. Como aqui as descontinuidades são apenas os pontos 1 e 2, que formam um conjunto finito, concluímos que f é integrável em [0,2].
Observação didática: outra forma de ver é escrever f(x)=x+[x] como soma de duas funções; x é contínua (logo integrável) e [x] é uma função escalonada com um número finito de saltos em [0,2], logo integrável; soma de integráveis é integrável.

Passo 4

Importante: valores da função em um número finito de pontos não alteram o valor da integral de Riemann. Assim, ao integrar, podemos ignorar os valores pontuais em x=1 e x=2 e integrar usando as expressões nas partes [0,1) e [1,2).
Portanto,
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx \;+\; \int_{1}^{2} (x+1)\,dx.

Passo 5

Calculemos cada integral separadamente, com contas explícitas.
Para a primeira integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Para a segunda integral:
\int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \int_{1}^{2} x\,dx + \int_{1}^{2} 1\,dx.
Calcule cada termo:
\int_{1}^{2} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2},
\int_{1}^{2} 1\,dx = \left.x\right|_{1}^{2} = 2-1 = 1.
Somando,
\int_{1}^{2} (x+1)\,dx = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}.
Agora some as duas partes:
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3.

Passo 6

Conclusão final: f é integrável em [0,2] porque é limitada e tem apenas um número finito de pontos de descontinuidade; e o valor da integral é 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados