Seja f: A B uma função. Dizemos que f é sobrejetora se para cada y in B, existir x in A tal que f(x)=y. Em outras palavras, f é sobrejetora se Im(f)=B.
Mostre que as funções são sobrejetoras
(a) Para a neq 0, f: R R com f(x)=a x+b.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon Rto R, f(x)=a x+b,
com aneq 0, e pede para mostrar que f é sobrejetora, ou seja, que Im(f)=R. Para isso, basta provar que dado qualquer yinR existe xinR tal que f(x)=y.

Passo 2

Seja um valor arbitrário yinR. Queremos resolver
f(x)=y
ou seja
a x + b = y
Subtraindo b de ambos os lados, obtemos
a x = y - b
Como aneq 0, podemos dividir por a e encontrar
x = y - ba
Note que y-bainR, pois R é fechado sob adição, subtração e divisão por não‐zero.

Passo 3

Basta verificar que esse x de fato satisfaz f(x)=y:
fgl(y - bagr) = acdot y - ba + b = (y - b) + b = y
Portanto, para cada yinR encontramos um xinR que mapeia em y, o que implica Im(f)=R.

Resposta

A função f(x)=a x+b, com aneq 0, é sobrejetora.

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