Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a expressão
onde é um campo escalar. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: sabemos que
– o operador gradiente (ou
) leva um escalar a um campo vetorial,
– o operador rotacional (ou
) leva um campo vetorial a outro campo vetorial.
onde
– o operador gradiente
– o operador rotacional
Passo 2
Como
é escalar,
existe e é um campo vetorial. Em notação,
é um vetor cujas componentes são
,
,
.
Passo 3
Aplicar
a um campo vetorial faz sentido, pois
é a definição usual de “curl de um gradiente”. O resultado deve ser um campo vetorial.
Passo 4
Pela identidade fundamental do cálculo vetorial, o rotacional de um gradiente é sempre o vetor nulo:
Isso vale desde que
seja suficientemente suave (derivável duas vezes).
Resposta
A expressão
tem significado e é um campo vetorial, e vale identicamente o vetor nulo.