Seja f um campo escalar e \mathbf{F} um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
\operatorname{rot}(\operatorname{rot} \mathbf{F})

Passo 1

O enunciado define \mathbf{F} como um campo vetorial e nos pergunta sobre a expressão \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\,\mathbf{F}). O operador \operatorname{rot} (ou “curl”) age em campos vetoriais em \mathbb{R}^3 e devolve outro campo vetorial.

Passo 2

Como \mathbf{F} é um campo vetorial, faz sentido aplicar uma vez \operatorname{rot} para obter o campo vetorial \operatorname{rot}\,\mathbf{F}. Em seguida, estamos simplesmente tomando o rot desse resultado:
\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\,\mathbf{F}) =\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr).
Portanto essa expressão está bem definida (desde que \mathbf{F} seja suficientemente suave em \mathbb{R}^3) e resulta em um campo vetorial.

Resposta

A expressão \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\,\mathbf{F}) faz sentido e é um campo vetorial.

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