Seja
contínua em
e tal que ambos
existem. Mostre que
é limitaa em
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
contínua em
e que os limites
existem (são finitos). Queremos mostrar que existe um número
tal que
isto é,
é limitada em
.
Passo 2
Como
existe e é finito, tomemos
. Então existe
tal que
Isto implica
Analogamente, como
existe, para
existe
tal que
logo
Passo 3
Considere agora o trecho intermediário
. Como
e
, este intervalo é fechado e contido em
. Em particular,
é contínua em
, que é compacto. Pelo teorema do valor extremo,
é limitada nesse intervalo, ou seja, existe
tal que
Passo 4
Para resumir, definimos
e escolhemos
Então, para qualquer
, ou
, ou
, ou
. Em cada caso temos
.
Resposta
A função
é limitada em
, pois existe
tal que
para todo
.