Seja f contínua em (a, b) e tal que ambos \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x) existem. Mostre que f é limitaa em (a, b)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f contínua em (a,b) e que os limites
L_1 = \lim_{x\to a^+}f(x), \quad L_2 = \lim_{x\to b^-}f(x)
existem (são finitos). Queremos mostrar que existe um número M>0 tal que
|f(x)| \le M \quad\text{para todo }x\in(a,b),
isto é, f é limitada em (a,b).

Passo 2

Como \lim_{x\to a^+}f(x)=L_1 existe e é finito, tomemos \varepsilon=1. Então existe \delta_1>0 tal que
|f(x) - L_1| < 1 \quad\text{sempre que }a < x < a+\delta_1.
Isto implica
|f(x)| \le |L_1| + 1 \quad\text{para }x\in(a,a+\delta_1).
Analogamente, como \lim_{x\to b^-}f(x)=L_2 existe, para \varepsilon=1 existe \delta_2>0 tal que
|f(x) - L_2| < 1 \quad\text{sempre que }b-\delta_2 < x < b,
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|f(x)| \le |L_2| + 1 \quad\text{para }x\in(b-\delta_2,b).

Passo 3

Considere agora o trecho intermediário [a+\delta_1,\,b-\delta_2]. Como \delta_1,\delta_2>0 e a<b, este intervalo é fechado e contido em (a,b). Em particular, f é contínua em [a+\delta_1,\,b-\delta_2], que é compacto. Pelo teorema do valor extremo, f é limitada nesse intervalo, ou seja, existe K_3>0 tal que
|f(x)| \le K_3 \quad\text{para todo }x\in[a+\delta_1,\,b-\delta_2].

Passo 4

Para resumir, definimos
K_1 = |L_1| + 1, \quad K_2 = |L_2| + 1, \quad K_3 \text{ como acima},
e escolhemos
M = \max\{K_1,\,K_2,\,K_3\}.
Então, para qualquer x\in(a,b), ou x\in(a,a+\delta_1), ou x\in[a+\delta_1,b-\delta_2], ou x\in(b-\delta_2,b). Em cada caso temos |f(x)|\le M.

Resposta

A função f é limitada em (a,b), pois existe M>0 tal que |f(x)|\le M para todo x\in(a,b).

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