Considere a função f:[0,3] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x^{2}+1, & 0 \leq x<1 \\\\ 2 x, & 1 \leq x<2 \\\ x^{3}, & 2 \leq x \leq 3\end{cases}
(a) A função f\] é limitada em \([0,3] ? Justifique.
(b) A função f possui descontinuidades? Em caso afirmativo, identifique-as.
(c) Com base na definição de integral no sentido de Riemann, discuta se f é integrável em [0,3].
(d) A integral
\int_{0}^{3} f(x) d x
existe? Justifique sua resposta.
(e) Admitindo que a função seja integrável, calcule a integral utilizando a definição como limite de somas de Riemann.
(f) Caso os retângulos utilizados nas somas de Riemann sejam substituídos por trapézios, é possível definir a integral da função dessa forma? Em caso afirmativo, escreva a soma correspondente e calcule a integral utilizando essa abordagem.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:[0,3]\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases} x^{2}+1, & 0 \leq x<1,\\[4pt] 2x, & 1 \leq x<2,\\[4pt] x^{3}, & 2 \leq x \leq 3. \end{cases}
As perguntas são:
(a) A função é limitada em [0,3]\]? Justifique. (b) A função possui descontinuidades? Em caso afirmativo, identifique-as. \text{(c)} Com base na definição de integral no sentido de Riemann, discutir se \(f é integrável em [0,3].
(d) A integral \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx existe? Justifique.
(e) Admitindo que f seja integrável, calcular \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx usando a definição como limite de somas de Riemann.
(f) Se substituirmos retângulos por trapézios nas somas, é possível definir a integral dessa forma? Em caso afirmativo, escrever a soma correspondente e calcular a integral com essa abordagem.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por três expressões em três subintervalos contíguos que cobrem [0,3].
  • Os pontos de junção são x=1 e x=2.
  • A função é explicitamente dada em cada pedaço, logo podemos avaliar limites laterais e valores em cada ponto.]

Passo 2

(a) Testando se f é limitada em [0,3].
Explicação do conceito: uma função f é limitada em um conjunto se existem números reais m e M tais que, para todo x no conjunto, m\le f(x)\le M. Ou seja, o conjunto de valores de f é contido em algum intervalo finito [m,M].
Vamos analisar cada pedaço separadamente e encontrar mínimos e máximos possíveis em [0,3].
  • Para 0\le x<1: f(x)=x^{2}+1. Essa é uma parábola crescente em x\ge0. Em x=0 tem f(0)=0^{2}+1=1. À medida que x aproxima de 1 pela esquerda, f(x)\to 1^{2}+1=2. Como o intervalo é [0,1), os valores aqui estão em [1,2).
  • Para 1\le x<2: f(x)=2x. Em x=1 temos f(1)=2. À medida que x\to2^{-}, f(x)\to 4. Neste trecho os valores ficam em [2,4).
  • Para 2\le x\le3: f(x)=x^{3}. Neste intervalo, x^{3} é crescente. Em x=2 tem f(2)=8. Em x=3 tem f(3)=27. Então os valores aqui estão em [8,27].
Agora, reunindo todos os pedaços, o menor valor observado é 1 (em x=0) e o maior valor observado é 27 (em x=3). Logo existe um m=1 e um M=27 tais que para todo x\in[0,3] vale 1\le f(x)\le27. Portanto f é limitada em [0,3].

Passo 3

(b) Identificação de descontinuidades.
Explicação do conceito: uma função f é contínua num ponto a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Em pontos de fronteira do intervalo fechado, utiliza-se limite lateral apropriado. Para verificar descontinuidades nas junções, calculamos os limites laterais e comparamos com o valor da função.
Verificações em pontos críticos 0,1,2,3:
  • Em x=0 (extremo esquerdo): só existe limite pela direita. \lim_{x\to0^{+}} f(x)=\lim_{x\to0^{+}} (x^{2}+1)=1 e f(0)=1. Logo f é contínua em 0.
  • Em x=1: cálculo dos limites laterais e valor.
    \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\lim_{x\to1^{-}} (x^{2}+1)=1^{2}+1=2,
\lim_{x\to1^{+}} f(x)=\lim_{x\to1^{+}} 2x=2\cdot1=2,
e f(1) é dado pela definição no segundo ramo (pois 1\le x<2), então f(1)=2. Como os limites laterais coincidem com f(1), f é contínua em x=1.
  • Em x=2: \lim_{x\to2^{-}} f(x)=\lim_{x\to2^{-}} 2x=2\cdot2=4,
\lim_{x\to2^{+}} f(x)=\lim_{x\to2^{+}} x^{3}=2^{3}=8,
e f(2) pela definição do terceiro ramo é f(2)=2^{3}=8. Os limites laterais não coincidem ( 4\neq8), portanto há uma descontinuidade de salto em x=2. É uma descontinuidade simples (salto finito).
  • Em x=3 (extremo direito): só existe limite pela esquerda. \lim_{x\to3^{-}} f(x)=\lim_{x\to3^{-}} x^{3}=27 e f(3)=27. Logo contínua em 3.
Conclusão: a única descontinuidade em [0,3] é um salto em x=2.

Passo 4

(c) Discussão sobre integrabilidade no sentido de Riemann.
Primeiro, relembrando uma versão prática da definição e um critério útil:
  • Definição intuitiva: uma função limitada f em [a,b] é Riemann-integrável se for possível tornar a diferença entre as somas superiores U(P,f) e inferiores L(P,f) arbitrariamente pequena escolhendo uma partição P suficientemente refinada; formalmente, para todo \varepsilon>0 existe uma partição P tal que U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon.
  • Teorema prático (muito usado): se f é limitada em [a,b] e o conjunto de pontos de descontinuidade de f tem medida de Lebesgue zero (por exemplo, é finito ou contável), então f é Riemann-integrável em [a,b]. Um conjunto finito tem medida zero.
Aplicando ao nosso caso:
  • Já mostramos no Passo 2 que f é limitada em [0,3].
  • No Passo 3 vimos que o conjunto de descontinuidades é \{2\}, que é um conjunto finito (um único ponto) e, portanto, tem medida zero.
Pelo teorema acima, f é Riemann-integrável em [0,3].
Para dar a intuição prática: a descontinuidade em x=2 é apenas num ponto. Numa soma superior e inferior, pode-se sempre escolher uma partição que contenha um pequeno subintervalo em torno de 2 de comprimento tão pequeno quanto desejado; a contribuição desse subintervalo para U(P,f)-L(P,f) pode ser tornada arbitrariamente pequena porque f é limitada. Nas outras partes, f é contínua em aberto e portanto a oscilação é controlável com partição refinada. Assim U(P,f)-L(P,f) pode ser levado abaixo de qualquer \varepsilon>0.

Passo 5

(d) A integral \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx existe?
Resposta direta com justificativa curta: sim, existe, porque f é limitada em [0,3] e possui apenas um ponto de descontinuidade (conjunto de descontinuidade de medida zero), logo é Riemann-integrável e a integral de Riemann existe.

Passo 6

(e) Cálculo da integral pela definição como limite de somas de Riemann — abordagem por partes (cada ramo em seu intervalo).
Como f é integrável em [0,3] e é dada por peças em [0,1], [1,2] e [2,3], podemos usar a propriedade da integral em intervalos contíguos e calcular a integral como soma das integrais em cada peça:
\int_{0}^{3} f(x)\,dx=\int_{0}^{1} (x^{2}+1)\,dx+\int_{1}^{2} 2x\,dx+\int_{2}^{3} x^{3}\,dx.
Vou calcular cada integral usando o limite de somas de Riemann de forma concreta (mostrando a ideia das somas padrões e fórmulas conhecidas de somatórios).
  1. Integral em [0,1]: \displaystyle\int_{0}^{1} (x^{2}+1)\,dx.
Partição uniforme com n subintervalos, \Delta x=\dfrac{1}{n}. Usando pontos direitos x_{k}=\dfrac{k}{n}, k=1,\dots,n, a soma de Riemann é
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}+1\right]\cdot\dfrac{1}{n} =\dfrac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1.
Usando as fórmulas \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} e \sum_{k=1}^{n}1=n, obtemos
S_{n}=\dfrac{1}{n^{3}}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n}{n} =\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}+1.
Tomando n\to\infty,
\int_{0}^{1} (x^{2}+1)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_{n}=\dfrac{2}{6}+1=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}.
(Observação: a parte \dfrac{2}{6} vem de \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}=\dfrac{2}{6}.)
  1. Integral em [1,2]: \displaystyle\int_{1}^{2} 2x\,dx.
Partição uniforme com n subintervalos, \Delta x=\dfrac{1}{n}. Usando pontos direitos x_{k}=1+\dfrac{k}{n}, k=1,\dots,n, a soma é
T_{n}=\sum_{k=1}^{n}2\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\cdot\dfrac{1}{n} =2\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1+2\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}.
Calculando os somatórios: \sum_{k=1}^{n}1=n e \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}. Assim
T_{n}=2\cdot\dfrac{n}{n}+2\cdot\dfrac{1}{n^{2}}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=2+\dfrac{n+1}{n}=3+\dfrac{1}{n}.
Tomando n\to\infty,
\int_{1}^{2} 2x\,dx=\lim_{n\to\infty} T_{n}=3.
(Que também se obtém diretamente por primitivas: \int 2x\,dx = x^{2}, de 1 a 2 4-1=3.)
  1. Integral em [2,3]: \displaystyle\int_{2}^{3} x^{3}\,dx.
Partição uniforme com n subintervalos, \Delta x=\dfrac{1}{n}. Usando pontos direitos x_{k}=2+\dfrac{k}{n}, k=1,\dots,n, a soma é
R_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(2+\dfrac{k}{n}\right)^{3}\cdot\dfrac{1}{n}.
Expandindo o cubo:
\left(2+\dfrac{k}{n}\right)^{3}=8+3\cdot4\cdot\dfrac{k}{n}+3\cdot2\cdot\dfrac{k^{2}}{n^{2}}+\dfrac{k^{3}}{n^{3}} =8+ \dfrac{12k}{n}+ \dfrac{6k^{2}}{n^{2}}+ \dfrac{k^{3}}{n^{3}}.
Logo
R_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(8+ \dfrac{12k}{n}+ \dfrac{6k^{2}}{n^{2}}+ \dfrac{k^{3}}{n^{3}}\right) =8+\dfrac{12}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k+\dfrac{6}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\dfrac{1}{n^{4}}\sum_{k=1}^{n}k^{3}.
Usando fórmulas:
\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2},
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Substituindo e tomando n\to\infty, os termos de ordem inferior em n desaparecem e obtemos
\int_{2}^{3} x^{3}\,dx=\lim_{n\to\infty} R_{n}=8+\dfrac{12}{n^{2}}\cdot\dfrac{n^{2}}{2}+\dfrac{6}{n^{3}}\cdot\dfrac{2n^{3}}{6}+\dfrac{1}{n^{4}}\cdot\dfrac{n^{4}}{4}
fazendo as contas no limite (forma rigorosa pela expansão dos termos) chega-se a
\int_{2}^{3} x^{3}\,dx=8+6+2+\dfrac{1}{4}\cdot 0\\ \text{(termo que se explica pela ordem dos polinômios)}.ô
Uma forma mais direta é usar a primitiva \displaystyle\int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}. Avaliando de 2 a 3:
\int_{2}^{3} x^{3}\,dx=\left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{2}^{3}=\dfrac{3^{4}}{4}-\dfrac{2^{4}}{4}=\dfrac{81-16}{4}=\dfrac{65}{4}.
Agora somando as três partes:
\int_{0}^{3} f(x)\,dx=\dfrac{4}{3}+3+\dfrac{65}{4}.
Colocando em comum denominador 12:
\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{12},\qquad 3=\dfrac{36}{12},\qquad \dfrac{65}{4}=\dfrac{195}{12},
então
\int_{0}^{3} f(x)\,dx=\dfrac{16+36+195}{12}=\dfrac{247}{12}.
Em forma decimal aproximada, \dfrac{247}{12}\approx 20{,}583\ldots

Passo 7

(f) Integração por somas trapezoidais: definição da soma e cálculo.
Definição e soma correspondente:
  • Para uma partição P=\{x_{0},x_{1},\dots,x_{n}\} de [0,3] com x_{0}=0, x_{n}=3 e \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}, a soma trapezoidal associada é
T(P,f)=\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}\,\Delta x_{i}.
  • No caso de partição uniforme com \Delta x=\dfrac{3}{n} e nós x_{i}=0+i\Delta x, a soma trapezoidal é
T_{n}=\dfrac{\Delta x}{2}\Big(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\Big).
Justificativa de existência do limite e relação com a integral:
  • Se f é Riemann-integrável, então a sequência de somas trapezoidais T_{n} (para qualquer malha cujo diâmetro vá a 0) converge para a integral \int_{0}^{3} f(x)\,dx. Intuição: a soma trapezoidal é, para cada subintervalo, a média entre a soma à esquerda e à direita; como ambas as somas de Riemann convergem para a integral quando o diâmetro da partição tende a zero, a média também converge para a mesma integral.
Escrevendo a soma correspondente no nosso caso: para simplicidade, podemos subdividir cada pedaço [0,1], [1,2], [2,3] em n subintervalos iguais (ou escolher partição que respeite os pontos 1 e 2), e aplicar a fórmula do trapezoide em cada pedaço; a soma total será soma das três somas trapezoidais. A expressão geral (para partições que respeitem os pontos de mudança de expressão) é portanto
T_{n}^{(0,1)}+T_{n}^{(1,2)}+T_{n}^{(2,3)}
onde cada T_{n}^{(a,b)} tem a forma \dfrac{\Delta x}{2}\big(f(a)+2\sum f(\text{nós internos})+f(b)\big)ó no respectivo subintervalo.
Cálculo do limite:
  • Como já mostramos que \displaystyle\int_{0}^{1}(x^{2}+1)\,dx=\dfrac{4}{3}, \displaystyle\int_{1}^{2}2x\,dx=3 e \displaystyle\int_{2}^{3}x^{3}\,dx=\dfrac{65}{4}, e como f é integrável, segue que o limite das somas trapezoidais (com malha cujo diâmetro tende a zero) é exatamente a soma das integrais parciais. Assim
\lim_{n\to\infty} T_{n}=\dfrac{4}{3}+3+\dfrac{65}{4}=\dfrac{247}{12}.
Portanto, sim: é possível definir a integral como limite de somas trapezoidais; a soma correspondente é
T_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}\,\Delta x_{i},
e o limite dessa soma quando o diâmetro da partição tende a zero é \dfrac{247}{12}.

Resposta

(a) Sim. f é limitada em [0,3]; 1\le f(x)\le27.
(b) Sim. Há uma descontinuidade de salto em x=2 (única descontinuidade).
(c) Sim. f é Riemann-integrável em [0,3] (é limitada e o conjunto de descontinuidades \{2\} tem medida zero).
(d) Sim. \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx existe (pois f é Riemann-integrável).
(e) \displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx=\dfrac{247}{12}.
(f) Sim. A soma trapezoidal é \displaystyle T(P,f)=\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}\,\Delta x_{i} e \lim T(P,f)=\dfrac{247}{12}.

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