Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua que admite uma primitiva F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, isto é, F^{\prime}(x)=f(x) para todo x \in[a, b].
(a) Considere uma partição P=\left\{x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right\} de [a, b], com a=x_{0}<x_{1}< \cdots<x_{n}=b. Escreva a soma telescópica
\sum_{i=1}^{n}\left(F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)
e mostre que ela é igual a F(b)-F(a).
(b) Para cada subintervalo \left[x_{i-1}, x_{i}\right], mostre que existe \xi_{i} \in\left(x_{i-1}, x_{i}\right) tal que
F\left(x_{i}\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) .
(c) Usando que F^{\prime}(x)=f(x), reescreva a expressão do item anterior em termos de f\left(\xi_{i}\right).
(d) Substitua o resultado do item (c) na soma do item (a) e escreva F(b)-F(a) como uma soma envolvendo f\left(\xi_{i}\right).
(e) Identifique essa soma como uma soma de Riemann da função f no intervalo [a, b].
(f) Faça o parâmetro n da partição tender a infinito e conclua que
\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos.
  • Dados e hipóteses:
    • f:[a,b]\to\mathbb{R} é contínua em [a,b].
    • Existe F:[a,b]\to\mathbb{R} tal que F'(x)=f(x) para todo x\in[a,b]. Ou seja, F é uma primitiva de f.
    • Uma partição P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} de [a,b] com a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.
  • O que o enunciado pede, dividido por itens:
    (a) Escrever a soma telescópica \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr) e mostrar que é igual a F(b)-F(a).
    (b) Para cada subintervalo [x_{i-1},x_i], mostrar que existe \xi_i\in(x_{i-1},x_i) tal que \displaystyle F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).
    (c) Usando F'(x)=f(x), reescrever o item (b) em termos de f(\xi_i).
    (d) Substituir (c) na soma de (a) e escrever F(b)-F(a) como uma soma envolvendo f(\xi_i).
    (e) Identificar essa soma como uma soma de Riemann de f no intervalo [a,b].
    (f) Fazer o parâmetro n tender a infinito (ou a norma da partição tender a zero) e concluir que \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando bem cada ideia usada.

Passo 2

(a) Cálculo da soma telescópica.
Escrevemos explicitamente a soma:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr) = \bigl(F(x_1)-F(x_0)\bigr)+\bigl(F(x_2)-F(x_1)\bigr)+\cdots+\bigl(F(x_n)-F(x_{n-1})\bigr).
Observe que os termos internos cancelam em pares: -F(x_1) com +F(x_1), -F(x_2) com +F(x_2), etc. Ficam apenas os extremos:
\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr)=F(x_n)-F(x_0).
Como x_0=a e x_n=b, obtemos
\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr)=F(b)-F(a).
Isso responde o item (a). É a típica soma “telescópica”: os termos intermediários desaparecem.

Passo 3

(b) Aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM) para derivadas em cada subintervalo.
Primeiro, lembrando o que diz o Teorema do Valor Médio (MVT): se uma função G é contínua em [u,v] e diferenciável em (u,v), então existe \eta\in(u,v) tal que
G(v)-G(u)=G'(\eta)\, (v-u).
Agora aplicamos o MVT a G=F no intervalo [x_{i-1},x_i]. As hipóteses do MVT são satisfeitas porque:
  • F é contínua em [a,b] (já que admite derivada em todo [a,b]); portanto é contínua em qualquer subintervalo [x_{i-1},x_i].
  • F é diferenciável em (a,b), logo diferenciável em (x_{i-1},x_i).
Pelo MVT, existe \xi_i\in(x_{i-1},x_i) tal que
F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\xi_i)\, (x_i-x_{i-1}).
Isso prova (b). Intuitivamente: a variação de F no pequeno intervalo é igual à derivada num ponto do intervalo vezes o comprimento do intervalo.

Passo 4

(c) Substituindo F'(\xi_i)=f(\xi_i).
Pelo enunciado sabemos que F'(x)=f(x) para todo x. Em particular, para cada \xi_i temos F'(\xi_i)=f(\xi_i). Então a igualdade do passo anterior fica
F(x_i)-F(x_{i-1})=f(\xi_i)\, (x_i-x_{i-1}).

Passo 5

(d) Substituição na soma telescópica e expressão de F(b)-F(a).
Substituindo a expressão do passo anterior em cada termo da soma do passo 2, obtemos
\begin{aligned} F(b)-F(a) &= \sum_{i=1}^{n}\bigl(F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr) \\\ &= \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\, (x_i-x_{i-1}). \end{aligned}
Portanto F(b)-F(a) foi escrito como uma soma de termos f(\xi_i) vezes os comprimentos (x_i-x_{i-1}).

Passo 6

(e) Identificação dessa soma como uma soma de Riemann.
Recordando a definição: dada uma partição P=\{x_0,\dots,x_n\} de [a,b] e pontos amostragem \xi_i\in[x_{i-1},x_i], a soma de Riemann de f relativa a essa partição e pontos amostragem é
S(P,f,\{\xi_i\})=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,(x_i-x_{i-1}).
A soma que encontramos em (d) é exatamente essa soma de Riemann, pois cada \xi_i pertence a (x_{i-1},x_i)\subset[x_{i-1},x_i]. Logo
F(b)-F(a)=S(P,f,\{\xi_i\}).
Então já reconhecemos a soma do passo anterior como uma soma de Riemann de f no intervalo [a,b], com pontos de amostragem \xi_i.

Passo 7

(f) Fazer a norma da partição tender a zero (ou n\to\infty) e concluir que a soma tende à integral.
Agora precisamos passar do valor de uma soma de Riemann particular para o limite quando a partição fica “muito fina”. Definições úteis:
  • A norma (ou malha) da partição P é \|P\|=\max_i (x_i-x_{i-1}).
  • Se \|P\|\to 0, dizemos que a partição fica cada vez mais fina.
Propriedade fundamental usada aqui: se f é contínua em [a,b] então f é Riemann-integrável e, mais ainda, para qualquer sequência de partições P^{(m)} cuja norma tende a zero e quaisquer escolhas de pontos de amostragem \xi_i^{(m)}\in[x_{i-1}^{(m)},x_{i}^{(m)}], as somas de Riemann
S\bigl(P^{(m)},f,\{\xi_i^{(m)}\}\bigr)
tendem ao valor \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx quando m\to\infty. Vou explicar por que, de forma intuitiva e com uma ideia de prova curta:
  • Como f é contínua em [a,b], por ser um conjunto compacto f é uniformemente contínua e limitada.
  • Uniforme continuidade implica: dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se um subintervalo tem comprimento menor que \delta, então a oscilação de f nesse subintervalo é menor que \varepsilon/(b-a). Assim, em partições com norma <\delta o valor de f em cada subintervalo varia muito pouco.
  • Com isso, as somas inferiores e superiores (inf e sup de f em cada subintervalo vezes o comprimento) ficam a menos de \varepsilon uma da outra; como o integral está entre elas, qualquer soma de Riemann com pontos de amostragem ficará a menos de \varepsilon do integral para norma suficientemente pequena.
  • Logo, quando \|P\|\to 0, qualquer soma de Riemann converge a \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso: para cada partição P existe a escolha de pontos \xi_i dada pelo MVT e vimos que para essa escolha
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,(x_i-x_{i-1}).
Agora fazemos as partições tão finas quanto quisermos (ou seja, tomamos uma sequência de partições com norma tendendo a zero). Pelo argumento acima, as somas do lado direito tendem a \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. O lado esquerdo F(b)-F(a) não depende da partição, então esse limite é exatamente F(b)-F(a). Portanto
F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,dx.
Essa é a conclusão desejada: a integral de f em [a,b] é a diferença de valores de uma primitiva F nos extremos.

Passo 8

Comentário didático final e exemplo curto (para fixar).
  • O passo-chave foi ligar a variação de F em cada subintervalo ao valor de f através do Teorema do Valor Médio, transformando a soma telescópica numa soma de Riemann.
  • A continuidade de f garante que as somas de Riemann convergem para o integral quando a partição é refinada.
Exemplo rápido: se f(x)=2x e F(x)=x^2, então F'(x)=2x=f(x). Pela fórmula temos \displaystyle\int_0^1 2x\,dx = F(1)-F(0)=1^2-0^2=1, que coincide com o cálculo direto.
Força aí — você já tem a demonstração completa do teorema fundamental do cálculo (parte que conecta derivada com integral) passo a passo. Parabéns por seguir até aqui!

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)

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