Seja
uma função contínua que admite uma primitiva
, isto é,
para todo
.
(a) Considere uma partição
de
, com
. Escreva a soma telescópica
e mostre que ela é igual a
.
(b) Para cada subintervalo
, mostre que existe
tal que
(c) Usando que
, reescreva a expressão do item anterior em termos de
.
(d) Substitua o resultado do item (c) na soma do item (a) e escreva
como uma soma envolvendo
.
(e) Identifique essa soma como uma soma de Riemann da função
no intervalo
.
(f) Faça o parâmetro
da partição tender a infinito e conclua que
(a) Considere uma partição
(b) Para cada subintervalo
(d) Substitua o resultado do item (c) na soma do item (a) e escreva
(e) Identifique essa soma como uma soma de Riemann da função
(f) Faça o parâmetro
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pedidos.
-
Dados e hipóteses:
-
é contínua em . - Existe
tal que para todo . Ou seja, é uma primitiva de . - Uma partição
de com .
-
-
O que o enunciado pede, dividido por itens:
(a) Escrever a soma telescópicae mostrar que é igual a .
(b) Para cada subintervalo, mostrar que existe tal que .
(c) Usando, reescrever o item (b) em termos de .
(d) Substituir (c) na soma de (a) e escrevercomo uma soma envolvendo .
(e) Identificar essa soma como uma soma de Riemann deno intervalo .
(f) Fazer o parâmetrotender a infinito (ou a norma da partição tender a zero) e concluir que .
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando bem cada ideia usada.
Passo 2
(a) Cálculo da soma telescópica.
Escrevemos explicitamente a soma:
Observe que os termos internos cancelam em pares:
com
,
com
, etc. Ficam apenas os extremos:
Como
e
, obtemos
Isso responde o item (a). É a típica soma “telescópica”: os termos intermediários desaparecem.
Passo 3
(b) Aplicação do Teorema do Valor Médio (TVM) para derivadas em cada subintervalo.
Primeiro, lembrando o que diz o Teorema do Valor Médio (MVT): se uma função
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Agora aplicamos o MVT a
no intervalo
. As hipóteses do MVT são satisfeitas porque:
-
é contínua em (já que admite derivada em todo ); portanto é contínua em qualquer subintervalo . -
é diferenciável em , logo diferenciável em .
Pelo MVT, existe
tal que
Isso prova (b). Intuitivamente: a variação de
no pequeno intervalo é igual à derivada num ponto do intervalo vezes o comprimento do intervalo.
Passo 4
(c) Substituindo
.
Pelo enunciado sabemos que
para todo
. Em particular, para cada
temos
. Então a igualdade do passo anterior fica
Passo 5
(d) Substituição na soma telescópica e expressão de
.
Substituindo a expressão do passo anterior em cada termo da soma do passo 2, obtemos
Portanto
foi escrito como uma soma de termos
vezes os comprimentos
.
Passo 6
(e) Identificação dessa soma como uma soma de Riemann.
Recordando a definição: dada uma partição
de
e pontos amostragem
, a soma de Riemann de
relativa a essa partição e pontos amostragem é
A soma que encontramos em (d) é exatamente essa soma de Riemann, pois cada
pertence a
. Logo
Então já reconhecemos a soma do passo anterior como uma soma de Riemann de
no intervalo
, com pontos de amostragem
.
Passo 7
(f) Fazer a norma da partição tender a zero (ou
) e concluir que a soma tende à integral.
Agora precisamos passar do valor de uma soma de Riemann particular para o limite quando a partição fica “muito fina”. Definições úteis:
- A norma (ou malha) da partição
é . - Se
, dizemos que a partição fica cada vez mais fina.
Propriedade fundamental usada aqui: se
é contínua em
então
é Riemann-integrável e, mais ainda, para qualquer sequência de partições
cuja norma tende a zero e quaisquer escolhas de pontos de amostragem
, as somas de Riemann
tendem ao valor
quando
. Vou explicar por que, de forma intuitiva e com uma ideia de prova curta:
- Como
é contínua em , por ser um conjunto compacto é uniformemente contínua e limitada. - Uniforme continuidade implica: dado
existe tal que se um subintervalo tem comprimento menor que , então a oscilação de nesse subintervalo é menor que . Assim, em partições com norma o valor de em cada subintervalo varia muito pouco. - Com isso, as somas inferiores e superiores (inf e sup de
em cada subintervalo vezes o comprimento) ficam a menos de uma da outra; como o integral está entre elas, qualquer soma de Riemann com pontos de amostragem ficará a menos de do integral para norma suficientemente pequena. - Logo, quando
, qualquer soma de Riemann converge a .
Aplicando isso ao nosso caso: para cada partição
existe a escolha de pontos
dada pelo MVT e vimos que para essa escolha
Agora fazemos as partições tão finas quanto quisermos (ou seja, tomamos uma sequência de partições com norma tendendo a zero). Pelo argumento acima, as somas do lado direito tendem a
. O lado esquerdo
não depende da partição, então esse limite é exatamente
. Portanto
Essa é a conclusão desejada: a integral de
em
é a diferença de valores de uma primitiva
nos extremos.
Passo 8
Comentário didático final e exemplo curto (para fixar).
- O passo-chave foi ligar a variação de
em cada subintervalo ao valor de através do Teorema do Valor Médio, transformando a soma telescópica numa soma de Riemann. - A continuidade de
garante que as somas de Riemann convergem para o integral quando a partição é refinada.
Exemplo rápido: se
e
, então
. Pela fórmula temos
, que coincide com o cálculo direto.
Força aí — você já tem a demonstração completa do teorema fundamental do cálculo (parte que conecta derivada com integral) passo a passo. Parabéns por seguir até aqui!