Seja f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até a ordem n em um intervalo I \subset D_{f} contendo um ponto x_{0}. O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em torno do
ponto x_{0} \in I, é dado por
P(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n} .
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 5 das seguintes funções em torno do ponto dado.
f(x)=\ln (x+1) \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x)=\ln(x+1) em torno de x_{0}=0. Vamos usar a fórmula
P_{5}(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k},
isto é, precisamos calcular f^{(k)}(0) para k=0,1,\dots,5.

Passo 2

Calculemos f(0) e f'(0).
f(x)=\ln(1+x)\implies f(0)=\ln1=0.
f'(x)=\frac{1}{1+x}\implies f'(0)=1\quad\Longrightarrow\quad\frac{f'(0)}{1!}\,x = x.

Passo 3

Calculemos a segunda derivada em 0.
f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}\implies f''(0)=-1 \quad\Longrightarrow\quad\frac{f''(0)}{2!}\,x^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}.

Passo 4

Agora a terceira derivada em 0.
f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^{3}}\implies f'''(0)=2 \quad\Longrightarrow\quad\frac{f'''(0)}{3!}\,x^{3}=\frac{2}{6}x^{3}=\frac{1}{3}x^{3}.

Passo 5

A quarta derivada em 0 é
f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^{4}}\implies f^{(4)}(0)=-6 \quad\Longrightarrow\quad\frac{f^{(4)}(0)}{4!}\,x^{4}=-\frac{6}{24}x^{4}=-\frac{1}{4}x^{4}.

Passo 6

Finalmente, a quinta derivada em 0:
f^{(5)}(x)=\frac{24}{(1+x)^{5}}\implies f^{(5)}(0)=24 \quad\Longrightarrow\quad\frac{f^{(5)}(0)}{5!}\,x^{5}=\frac{24}{120}x^{5}=\frac{1}{5}x^{5}.

Passo 7

Somando todos os termos de k=0 a 5, obtemos
P_{5}(x)=0 + x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{5}x^{5}.

Resposta

P_{5}(x)=x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5}.

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