Seja
uma função analítica, onde
é uma região. Prove que
é constante em
se uma das seguintes condições for satisfeita:
em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função analítica
, onde
é uma região (ou seja, um conjunto aberto e conectado). Pede para provar que
é constante em
sob a hipótese
Informações relevantes que já temos:
é analítica (holomorfa) em
;
é uma região; a derivada complexa
existe em todo ponto de
e é igual a zero em todo
. A conclusão a demonstrar é que existe uma constante
tal que
para todo
.
Passo 2
Explico um resultado básico e muito útil sobre funções analíticas: se
é analítica num ponto
, então existe um raio
tal que
pode ser escrita, para
, como uma série de potências (a série de Taylor centrada em
):
onde os coeficientes
são dados por
Isto significa que, localmente, uma função analítica se comporta exatamente como uma série de potências. Um corolário imediato é que as derivadas de todas as ordens existem e são contínuas, e que a derivada pode ser obtida termo a termo:
válido para
.
Passo 3
Vou usar a expansão de Taylor em torno de um ponto arbitrário
. Pelo fato de
ser analítica em
, existe
tal que, para todo
com
,
A derivada, termo a termo, é
Mas a hipótese do enunciado é que
para todo
, em particular para todo
com
. Isso significa que a série de potências que representa
é identicamente zero naquele disco aberto.
Passo 4
Se uma série de potências
é identicamente zero em um conjunto que tem um ponto de acumulação (por exemplo um disco aberto
), então todos os coeficientes são zero. Aplicando isso ao caso acima, obtemos que para todo
Logo, todos os coeficientes de ordem
anulam, e na vizinhança
temos
ou seja,
é constante naquele disco:
para todo
.
Comentário didático curto: a razão por que “série de potências idêntica a zero implica coeficientes nulos” é que as potências
são linearmente independentes quando consideradas como funções em qualquer disco; comparar coeficientes é a forma padrão de concluir isso.
Passo 5
Mostrei que para cada ponto
existe um pequeno disco em torno de
onde
é constante (igual a
). Em outras palavras,
é localmente constante em
. Agora uso a conectividade de
para promover local constância a constância global.
Defina o conjunto
onde
é um ponto fixo de
. Pelo argumento anterior, para cada
existe um disco centrado em
contido em
onde
é igual a
; portanto
é aberto. O complemento
também é aberto, porque se
então na vizinhança de
a função é constante (mas igual a
), portanto existe um disco em
contido em
. Assim
e
são abertos e disjuntos e sua união é
. Como
é conectado, não podemos ter uma separação não trivial; já que
é não-vazio (contém
), deve ser
. Logo
e, portanto,
para todo
.
Passo 6
Concluímos que
assume o mesmo valor em toda a região
, ou seja,
é constante em
. Relembrando o mecanismo principal: a hipóteses
força por expansão em série que
é constante em uma vizinhança de cada ponto; a conectividade de
extende essa constância a todo o conjunto.