Seja f: D \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função analítica, onde D \subset \mathbb{C} é uma região. Prove que f é constante em D se uma das seguintes condições for satisfeita:
f^{\prime}=0 em D.

Passo 1

O enunciado dá uma função analítica f: D \subset \mathbb{C}\to\mathbb{C}, onde D é uma região (ou seja, um conjunto aberto e conectado). Pede para provar que f é constante em D sob a hipótese
f'(z)=0\quad\text{para todo }z\in D.
Informações relevantes que já temos: f é analítica (holomorfa) em D; D é uma região; a derivada complexa f' existe em todo ponto de D e é igual a zero em todo D. A conclusão a demonstrar é que existe uma constante c\in\mathbb{C} tal que f(z)=c para todo z\in D.

Passo 2

Explico um resultado básico e muito útil sobre funções analíticas: se f é analítica num ponto z_0\in D, então existe um raio r>0 tal que f pode ser escrita, para |z-z_0|<r, como uma série de potências (a série de Taylor centrada em z_0):
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n,
onde os coeficientes a_n são dados por
a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}.
Isto significa que, localmente, uma função analítica se comporta exatamente como uma série de potências. Um corolário imediato é que as derivadas de todas as ordens existem e são contínuas, e que a derivada pode ser obtida termo a termo:
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (z-z_0)^{n-1},
válido para |z-z_0|<r.

Passo 3

Vou usar a expansão de Taylor em torno de um ponto arbitrário z_0\in D. Pelo fato de f ser analítica em D, existe r>0 tal que, para todo z com |z-z_0|<r,
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n.
A derivada, termo a termo, é
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (z-z_0)^{n-1}.
Mas a hipótese do enunciado é que f'(z)=0 para todo z\in D, em particular para todo z com |z-z_0|<r. Isso significa que a série de potências que representa f' é identicamente zero naquele disco aberto.

Passo 4

Se uma série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (z-z_0)^{n-1}
é identicamente zero em um conjunto que tem um ponto de acumulação (por exemplo um disco aberto \{z:|z-z_0|<r\}), então todos os coeficientes são zero. Aplicando isso ao caso acima, obtemos que para todo n\ge 1
n a_n = 0 \quad\Rightarrow\quad a_n=0.
Logo, todos os coeficientes de ordem \ge 1 anulam, e na vizinhança |z-z_0|<r temos
f(z)=a_0,
ou seja, f é constante naquele disco: f(z)=f(z_0) para todo |z-z_0|<r.
Comentário didático curto: a razão por que “série de potências idêntica a zero implica coeficientes nulos” é que as potências (z-z_0)^n são linearmente independentes quando consideradas como funções em qualquer disco; comparar coeficientes é a forma padrão de concluir isso.

Passo 5

Mostrei que para cada ponto z_0\in D existe um pequeno disco em torno de z_0 onde f é constante (igual a f(z_0)). Em outras palavras, f é localmente constante em D. Agora uso a conectividade de D para promover local constância a constância global.
Defina o conjunto
U=\{z\in D \mid f(z)=f(z_0)\},
onde z_0 é um ponto fixo de D. Pelo argumento anterior, para cada w\in U existe um disco centrado em w contido em D onde f é igual a f(w)=f(z_0); portanto U é aberto. O complemento D\setminus U também é aberto, porque se w\in D\setminus U então na vizinhança de w a função é constante (mas igual a f(w)\neq f(z_0)), portanto existe um disco em D contido em D\setminus U. Assim U e D\setminus U são abertos e disjuntos e sua união é D. Como D é conectado, não podemos ter uma separação não trivial; já que U é não-vazio (contém z_0), deve ser D\setminus U=\varnothing. Logo U=D e, portanto, f(z)=f(z_0) para todo z\in D.

Passo 6

Concluímos que f assume o mesmo valor em toda a região D, ou seja, f é constante em D. Relembrando o mecanismo principal: a hipóteses f'\equiv 0 força por expansão em série que f é constante em uma vizinhança de cada ponto; a conectividade de D extende essa constância a todo o conjunto.

Resposta

f é constante em D.

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