Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada f^{\prime}(z) neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que \left.f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i \frac{\partial v}{\partial x}(z)\right).
f(z)=z^{3}.

Passo 1

Enunciado: usar as equações de Cauchy–Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde a função f é derivável e explicitar a derivada f^{\prime}(z) nesse conjunto. A função dada é
f(z)=z^{3}.
Informações relevantes fornecidas: a derivada, quando existe, satisfaz
f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\frac{\partial v}{\partial x}(z),
onde u(x,y) e v(x,y) são as partes real e imaginária de f quando escrevemos z=x+iy. O enunciado pede que usemos as equações de Cauchy–Riemann para encontrar onde f é complexamente diferenciável e então calcular f'(z) nesses pontos.

Passo 2

Primeiro escrevemos z em coordenadas (x,y):
z=x+iy.
Agora expandimos (x+iy)^{3}. Vou fazer termo a termo para não pular etapa:
(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy+(iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy,
então
(x+iy)^{3}=(x+iy)\,(x^{2}-y^{2}+2ixy).
Multiplicando termo a termo:
(x+iy)(x^{2}-y^{2}) = x^{3}-xy^{2}+i(x^{2}y-y^{3}),
(x+iy)(2ixy) = 2ix^{2}y-2i^{2}xy^{2}=2ix^{2}y+2xy^{2}.
Somando os dois resultados:
(x+iy)^{3}=(x^{3}-3xy^{2}) + i(3x^{2}y-y^{3}).
Portanto, identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y)=x^{3}-3xy^{2},
v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}.

Passo 3

Agora precisamos das derivadas parciais de u e v. Vou lembrar: \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada de u tratando y como constante, e \frac{\partial u}{\partial y} trata x como constante. Calculamos passo a passo:
Derivadas de u:
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}-3xy^{2}\big)=3x^{2}-3y^{2},
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}-3xy^{2}\big)=-6xy.
Derivadas de v:
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y-y^{3}\big)=6xy,
\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y-y^{3}\big)=3x^{2}-3y^{2}.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann (CR) dizem que, em pontos onde f é diferenciável, devemos ter
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo nossas derivadas parciais:
  • Para a primeira equação:
\frac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}-3y^{2} \quad\text{e}\quad \frac{\partial v}{\partial y}=3x^{2}-3y^{2},
logo a igualdade é satisfeita.
  • Para a segunda equação:
\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy \quad\text{e}\quad -\frac{\partial v}{\partial x}=-6xy,
logo também é satisfeita.
As duas equações de CR são verdadeiras para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Portanto não há restrição: a condição é válida em todo o plano.

Passo 5

Conclusão sobre diferenciabilidade: porque as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos e as derivadas parciais usadas são contínuas em todo o plano (polinômios são suaves), f é complexamente diferenciável em todos os pontos z\in\mathbb{C}. Em linguagem comum: f é inteira (diferenciável em todo \mathbb{C}).
Agora calculamos a derivada usando a fórmula dada:
f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo as derivadas que já obtivemos:
f^{\prime}(z)=(3x^{2}-3y^{2})+i(6xy).

Passo 6

Para escrever f'(z) de forma mais compacta em termos de z, note que
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy.
Multiplicando por 3
3z^{2}=3(x^{2}-y^{2})+i(6xy),
que é exatamente a expressão que encontramos para f^{\prime}(z). Assim podemos escrever de forma muito simples:
f^{\prime}(z)=3z^{2}\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.

Resposta

A função é diferenciável em todo \mathbb{C}. f^{\prime}(z)=3z^{2}.

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