Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada
neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que
.
.
Passo 1
Enunciado: usar as equações de Cauchy–Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde a função
é derivável e explicitar a derivada
nesse conjunto. A função dada é
Informações relevantes fornecidas: a derivada, quando existe, satisfaz
onde
e
são as partes real e imaginária de
quando escrevemos
. O enunciado pede que usemos as equações de Cauchy–Riemann para encontrar onde
é complexamente diferenciável e então calcular
nesses pontos.
Passo 2
Primeiro escrevemos
em coordenadas
:
Agora expandimos
. Vou fazer termo a termo para não pular etapa:
então
Multiplicando termo a termo:
Somando os dois resultados:
Portanto, identificamos as partes real e imaginária:
Passo 3
Agora precisamos das derivadas parciais de
e
. Vou lembrar:
é a derivada de
tratando
como constante, e
trata
como constante. Calculamos passo a passo:
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann (CR) dizem que, em pontos onde
é diferenciável, devemos ter
Substituindo nossas derivadas parciais:
- Para a primeira equação:
logo a igualdade é satisfeita.
- Para a segunda equação:
logo também é satisfeita.
As duas equações de CR são verdadeiras para todos os pares
. Portanto não há restrição: a condição é válida em todo o plano.
Passo 5
Conclusão sobre diferenciabilidade: porque as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos e as derivadas parciais usadas são contínuas em todo o plano (polinômios são suaves),
é complexamente diferenciável em todos os pontos
. Em linguagem comum:
é inteira (diferenciável em todo
).
Agora calculamos a derivada usando a fórmula dada:
Substituindo as derivadas que já obtivemos:
Passo 6
Para escrever
de forma mais compacta em termos de
, note que
Multiplicando por
dá
que é exatamente a expressão que encontramos para
. Assim podemos escrever de forma muito simples:
Resposta
A função é diferenciável em todo
.
.