Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{1, e^{a x}, e^{b x}\right\}, a \neq b;

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço F de todas as funções reais de variável real, com operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
\{\,1,\;e^{ax},\;e^{bx}\},\quad a\neq b.
Pede-se verificar se esse conjunto é linearmente dependente ou independente e achar a dimensão do subespaço que ele gera. Como as funções são analíticas, basta checar se o wronskiano é identicamente nulo.

Passo 2

Definimos
f_{1}(x)=1,\quad f_{2}(x)=e^{ax},\quad f_{3}(x)=e^{bx}.
O wronskiano W(x) é dado pelo determinante da matriz cujas linhas são \bigl[f_i,\;f_i',\;f_i''\bigr]:
W(x) =\begin{vmatrix} 1 & e^{ax} & e^{bx}\\\\ 0 & a\,e^{ax} & b\,e^{bx}\\\\ 0 & a^{2}e^{ax} & b^{2}e^{bx} \end{vmatrix}.

Passo 3

Expandindo esse determinante pela primeira coluna (já que os dois zeros simplificam), obtemos
W(x) =1\cdot\begin{vmatrix} a\,e^{ax} & b\,e^{bx}\\\ a^{2}e^{ax} & b^{2}e^{bx} \end{vmatrix} =a\,e^{ax}\,b^{2}e^{bx}-b\,e^{bx}\,a^{2}e^{ax} =ab(b-a)\,e^{(a+b)x}.

Passo 4

Como e^{(a+b)x} nunca se anula e a\neq b implica b-a\neq0, a única forma de W(x) ser identicamente zero é ter ab=0. Logo:
  • Se a\neq0 e b\neq0, então W(x)\neq0 para todo x, o que garante que \{1,e^{ax},e^{bx}\} é linearmente independente.
  • Se a=0 (ou simetricamente b=0), então e^{0x}=1 coincide com f_{1}, caindo em dependência linear.

Passo 5

Da análise do wronskiano concluir:
  • Para a\neq0 e b\neq0, o conjunto é linearmente independente e gera um subespaço de dimensão
\dim\langle1,e^{ax},e^{bx}\rangle=3.
  • Se um dos parâmetros for zero (por exemplo a=0), \{1,e^{ax},e^{bx}\}=\{1,1,e^{bx}\} tem apenas duas funções independentes 1 e e^{bx}, gerando um subespaço de dimensão \dim=2.

Resposta

Para a\neq0 e b\neq0 o conjunto é linearmente independente e tem dimensão 3.
Se a=0 ou b=0, então cai em dependência linear e a dimensão do subespaço gerado é 2.

Exercícios relacionados