Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{e^{a x}, x e^{a x}, x^{2} e^{a x}\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço F de todas as funções reais de variável real, com soma e multiplicação por escalar usuais, e o subconjunto
\{\,e^{ax},\;x e^{ax},\;x^{2}e^{ax}\}.
Como as funções são analíticas, basta verificar se o Wronskiano é identicamente nulo para decidir dependência linear. Precisamos concluir se o conjunto é linearmente dependente ou independente e determinar a dimensão do subespaço que ele gera.

Passo 2

Sejam
f_{1}(x)=e^{ax},\quad f_{2}(x)=x\,e^{ax},\quad f_{3}(x)=x^{2}e^{ax}.
Para testar independência linear, consideramos uma combinação linear nula
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)+c_{3}f_{3}(x)=0,\quad\forall x.
Escrevendo isso:
c_{1}e^{ax}+c_{2}\bigl(xe^{ax}\bigr)+c_{3}\bigl(x^{2}e^{ax}\bigr)=0
ou seja
e^{ax}\bigl(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\bigr)=0.

Passo 3

Como e^{ax}\neq 0 para todo x, segue-se
c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}=0,\quad\forall x.
Mas um polinômio de grau <=2 que é zero para todo x tem todos os coeficientes nulos, logo
c_{1}=0,\quad c_{2}=0,\quad c_{3}=0.
Isso prova que não existe combinação linear não-trivial que anule as três funções, ou seja, elas são linearmente independentes.

Passo 4

Um conjunto de três funções linearmente independentes gera um subespaço de dimensão 3.

Resposta

O conjunto \{e^{ax},\,x e^{ax},\,x^{2}e^{ax}\} é linearmente independente e o subespaço que ele gera tem dimensão 3.

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