Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de
.
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço
de todas as funções reais de variável real, com soma e multiplicação por escalar usuais, e o subconjunto
Como as funções são analíticas, basta verificar se o Wronskiano é identicamente nulo para decidir dependência linear. Precisamos concluir se o conjunto é linearmente dependente ou independente e determinar a dimensão do subespaço que ele gera.
Passo 2
Sejam
Para testar independência linear, consideramos uma combinação linear nula
Escrevendo isso:
ou seja
Passo 3
Como
para todo
, segue-se
Mas um polinômio de grau
que é zero para todo
tem todos os coeficientes nulos, logo
Isso prova que não existe combinação linear não-trivial que anule as três funções, ou seja, elas são linearmente independentes.
Passo 4
Um conjunto de três funções linearmente independentes gera um subespaço de dimensão
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente e o subespaço que ele gera tem dimensão
.