Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{e^{a x}, x e^{a x}\right\};

Passo 1

Estamos no espaço F de funções reais analíticas. Queremos verificar se o subconjunto \{e^{ax},\,x e^{ax}\} é linearmente independente ou dependente e, em seguida, calcular a dimensão do subespaço que ele gera. Vamos usar o teste do wronskiano, já que para funções analíticas isso caracteriza independência linear.

Passo 2

Denotemos
f_{1}(x)=e^{ax}, \quad f_{2}(x)=x\,e^{ax}.
O wronskiano é definido por
W(x)= \begin{vmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x)\\[6pt] f_{1}'(x)& f_{2}'(x) \end{vmatrix} = f_{1}(x)\,f_{2}'(x)-f_{2}(x)\,f_{1}'(x).]

Passo 3

Calculemos as derivadas:
f_{1}'(x)=a\,e^{ax}, \quad f_{2}'(x)=\bigl(1 + a x\bigr)e^{ax}.
Logo,
W(x) = e^{ax}\cdot\bigl(1 + a x\bigr)e^{ax} - x\,e^{ax}\cdot a\,e^{ax} = e^{2ax}\bigl(1 + a x - a x\bigr) = e^{2ax}.

Passo 4

Como e^{2ax} jamais é zero para todo x, o wronskiano não se anula identicamente. Portanto, f_{1} e f_{2} são linearmente independentes. O subespaço gerado por elas tem dimensão igual ao número de funções independentes, ou seja, 2.

Resposta

O conjunto \{e^{ax},\,x e^{ax}\} é linearmente independente e o subespaço por ele gerado tem dimensão 2.

Exercícios relacionados