Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente.
\left\{1, \operatorname{cosh} ^{2} x, \operatorname{senh}^{2} x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
\{\,1,\\ \operatorname{cosh}^{2}x,\\ \operatorname{senh}^{2}x\,\}
do espaço F das funções reais é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações fornecidas:
  • Os elementos do conjunto são as funções x\mapsto 1, x\mapsto \operatorname{cosh}^{2}x e x\mapsto \operatorname{senh}^{2}x.
  • Operações em F são as usuais: soma ponto a ponto e multiplicação por escalar ponto a ponto.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples). Um conjunto de funções \{f_{1},f_{2},\dots,f_{n}\} é linearmente independente se a única combinação linear que produz a função zero (a função que vale 0 para todo x) é a combinação trivial em que todos os coeficientes são zero. Ou seja:
\text{o conjunto é independente} \iff \left( \sum_{k=1}^{n} a_k f_k(x) = 0\\ \text{para todo }x\in\mathbb{R} \right) \Rightarrow \left(a_1=\cdots=a_n=0\right).é
Se existir uma combinação linear com coeficientes não todos nulos que dá a função zero, então o conjunto é linearmente dependente. Aqui “função zero” significa a função que vale 0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Escrevendo a condição de dependência/independência para o nosso conjunto: existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\cdot 1 + b\cdot \operatorname{cosh}^{2}x + c\cdot \operatorname{senh}^{2}x = 0 \quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Se os únicos a,b,c que satisfazem isso forem a=b=c=0, então o conjunto é independente; caso contrário (isto é, se existir algum triplo (a,b,c)\neq(0,0,0) que satisfaça), o conjunto é dependente.

Passo 4

Lembrança/identidade hiperbolica crucial (aqui ensino a parte teórica usada): para as funções hiperbólicas vale a identidade bem conhecida
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1\qquad\text{(para todo }x\in\mathbb{R}\text{).}
Observação sobre notação: \operatorname{senh}x é a mesma função que \operatorname{sinh} x (apenas notação diferente). Vou usar a identidade com \operatorname{sinh} porque é a notação padrão; a identidade fica
\operatorname{cosh}^{2}x - \operatorname{sinh}^{2}x = 1.

Passo 5

Usando a identidade, reescreve-se como uma combinação linear que dá zero:
1 - \operatorname{cosh}^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}x = 0\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto é exatamente
1\cdot 1 + (-1)\cdot \operatorname{cosh}^{2}x + 1\cdot \operatorname{sinh}^{2}x = 0\quad\text{para todo }x.
Portanto existem coeficientes a=1, b=-1, c=1 não todos nulos que fazem a combinação linear ser a função zero. Pela definição do Passo 2, isso prova que o conjunto dos três é linearmente dependente.

Passo 6

Para fixar bem o entendimento e treinar como raciocinar em prova: análise dos subconjuntos de duas funções (curiosidade útil na prova).
  • Verificar \{1,\operatorname{cosh}^{2}x\} é independente: suponha a+b\operatorname{cosh}^{2}x=0 para todo x. Avaliando em x=0 e x=1 obtém-se um sistema a+b\operatorname{cosh}^{2}0=0\quad\text{e}\quad a+b\operatorname{cosh}^{2}1=0.Como \operatorname{cosh}^{2}0=1 e \operatorname{cosh}^{2}1\neq1, subtraindo as equações vem b(\operatorname{cosh}^{2}1-1)=0, logo b=0 e então a=0. Assim são independentes.
  • Verificar \{1,\operatorname{sinh}^{2}x\} é independente: avaliando em x=0 a+ b\cdot 0=0\Rightarrow a=0; então b=0. Logo independentes.
  • Verificar \{\operatorname{cosh}^{2}x,\operatorname{sinh}^{2}x\} é independente: avaliando em x=0 b\cdot 1 + c\cdot 0=0\Rightarrow b=0; então c=0. Logo independentes.
Conclusão útil: cada par dessas funções é linearmente independente, mas as três juntas são linearmente dependentes; isso significa que a dependência é “mínima” no sentido de que precisamos das três para ver a relação mostrada no Passo 5.

Resposta

Linearmente dependente.

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