Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
do espaço
das funções reais é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Os elementos do conjunto são as funções
, e . - Operações em
são as usuais: soma ponto a ponto e multiplicação por escalar ponto a ponto.
Passo 2
Definição (explicada de forma simples). Um conjunto de funções
é linearmente independente se a única combinação linear que produz a função zero (a função que vale
para todo
) é a combinação trivial em que todos os coeficientes são zero. Ou seja:
Se existir uma combinação linear com coeficientes não todos nulos que dá a função zero, então o conjunto é linearmente dependente. Aqui “função zero” significa a função que vale
para todo
.
Passo 3
Escrevendo a condição de dependência/independência para o nosso conjunto: existem escalares
tais que
Se os únicos
que satisfazem isso forem
, então o conjunto é independente; caso contrário (isto é, se existir algum triplo
que satisfaça), o conjunto é dependente.
Passo 4
Lembrança/identidade hiperbolica crucial (aqui ensino a parte teórica usada): para as funções hiperbólicas vale a identidade bem conhecida
Observação sobre notação:
é a mesma função que
(apenas notação diferente). Vou usar a identidade com
porque é a notação padrão; a identidade fica
Passo 5
Usando a identidade, reescreve-se como uma combinação linear que dá zero:
Isto é exatamente
Portanto existem coeficientes
,
,
não todos nulos que fazem a combinação linear ser a função zero. Pela definição do Passo 2, isso prova que o conjunto dos três é linearmente dependente.
Passo 6
Para fixar bem o entendimento e treinar como raciocinar em prova: análise dos subconjuntos de duas funções (curiosidade útil na prova).
- Verificar
é independente: suponha para todo . Avaliando em e obtém-se um sistema Como e , subtraindo as equações vem , logo e então . Assim são independentes. - Verificar
é independente: avaliando em dá ; então . Logo independentes. - Verificar
é independente: avaliando em dá ; então . Logo independentes.
Conclusão útil: cada par dessas funções é linearmente independente, mas as três juntas são linearmente dependentes; isso significa que a dependência é “mínima” no sentido de que precisamos das três para ver a relação mostrada no Passo 5.
Resposta
Linearmente dependente.