Resolva os seguintes sistemas, utilizando inversão de matrizes: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando inversão de matrizes. O que isso significa? Basicamente, a gente vai transformar o sistema em uma forma de matriz, encontrar a matriz inversa e usar ela para achar os valores de , e . Para isso, precisamos saber como montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
2x + 3y + 4z = 9 x + 0y + 2z = 3 3x + 4y + z = 8
Aqui, a matriz dos coeficientes A = 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 3 & 4 & 1 , b = 9 3 8 e o vetor dos termos constantes ficam assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Primeiro, calculamos o determinante de det(A) = 2(0 cdot 1 - 2 cdot 4) - 3(1 cdot 1 - 2 cdot 3) + 4(1 cdot 4 - 0 cdot 3) = 2(-8) - 3(-5) + 4(4) = -16 + 15 + 16 = 15 , que nos dirá se a inversa existe. A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz inversa existe.