Resolva os seguintes sistemas, utilizando inversão de matrizes:
c2 x+3 y+4 z=9 x+2 z=3 3 x+4 y+z=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando inversão de matrizes. O que isso significa? Basicamente, a gente vai transformar o sistema em uma forma de matriz, encontrar a matriz inversa e usar ela para achar os valores de , e . Para isso, precisamos saber como montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema dado é:
2x + 3y + 4z = 9 x + 0y + 2z = 3 3x + 4y + z = 8
Aqui, a matriz dos coeficientes A = 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 3 & 4 & 1 , b = 9 3 8 e o vetor dos termos constantes ficam assim:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Primeiro, calculamos o determinante de det(A) = 2(0 cdot 1 - 2 cdot 4) - 3(1 cdot 1 - 2 cdot 3) + 4(1 cdot 4 - 0 cdot 3) = 2(-8) - 3(-5) + 4(4) = -16 + 15 + 16 = 15 , que nos dirá se a inversa existe. A fórmula do determinante para uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz inversa existe.

Passo 4

Vamos calcular a matriz adjunta de Cofatores = (0 cdot 1 - 2 cdot 4) & -(1 cdot 1 - 2 cdot 3) & (1 cdot 4 - 0 cdot 3) -(3 cdot 1 - 4 cdot 4) & (2 cdot 1 - 4 cdot 3) & -(2 cdot 4 - 3 cdot 3) (3 cdot 2 - 0 cdot 4) & -(2 cdot 1 - 3 cdot 3) & (2 cdot 0 - 3 cdot 1) = -8 & 5 & 4 -13 & -10 & -1 6 & 7 & -3 . Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento:
Adj(A) = -8 & -13 & 6 5 & -10 & 7 4 & -1 & -3
A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 5

Com a adjunta e o determinante, podemos achar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 115 -8 & -13 & 6 5 & -10 & 7 4 & -1 & -3 :
A^-1 = -815 & -1315 & 615 515 & -1015 & 715 415 & -115 & -315 = -815 & -1315 & 25 13 & -23 & 715 415 & -115 & -15
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz inversa x = (-815) cdot 9 + (-1315) cdot 3 + (25) cdot 8 = -7215 - 3915 + 165 = -11115 + 4815 = -6315 = -4.2 pelo vetor y = (13) cdot 9 + (-23) cdot 3 + (715) cdot 8 = 3 - 2 + 5615 = 1 + 5615 = 1515 + 5615 = 7115 approx 4.73 para encontrar os valores de z = (415) cdot 9 + (-115) cdot 3 + (-15) cdot 8 = 3615 - 315 - 85 = 3315 - 2415 = 915 = 0.6 , e :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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