Seja
uma função continua num intervalo, onde ela é sempre diferente de zero. Prove que
é sempre positiva ou sempre negativa.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função contínua $ f $ em um intervalo, e ela nunca é igual a zero nesse intervalo. O que precisamos mostrar é que essa função é sempre positiva ou sempre negativa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e como elas se comportam em intervalos.
Passo 2
Primeiro, como $ f $ é contínua no intervalo e nunca é zero, significa que todos os valores de $ f $ estão ou acima de zero ou abaixo de zero no intervalo inteiro. Vamos supor que existe um ponto no intervalo onde $ f $ é positiva.
Passo 3
Se $ f $ é positiva em um ponto e a função é contínua, então, por não haver nenhum ponto onde $ f $ é zero (como dado no enunciado), não pode haver uma “quebra” que faça $ f $ se tornar negativa sem passar por zero. Isso garante que a função mantém o mesmo sinal em todo o intervalo.
Passo 4
O mesmo raciocínio vale se começarmos assumindo que $ f $ é negativa em um ponto. A continuidade garante que a função permanecerá negativa em todo o intervalo, já que não pode “pular” para valores positivos sem cruzar zero.
Resposta
Portanto, $ f $ é sempre positiva ou sempre negativa em todo o intervalo.