Uma função f: I R é localmente monótona não-decrescente se, para qualquer x0 in I, existe varepsilon>0 tal que f seja monótona não-decrescente em (x0-varepsilon, x0+varepsilon). Demosntre que tal f é monótona não-decrescente em I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que uma função $ f: I \rightarrow \mathbb{R} $ que é localmente monótona não-decrescente em todo ponto do intervalo $ I $ é, na verdade, monótona não-decrescente em todo o intervalo $ I $. Basicamente, precisamos mostrar que se a função não diminui em pequenos trechos ao redor de cada ponto, então ela não diminui em todo o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa monótona não-decrescente. Uma função é monótona não-decrescente se, para qualquer $ x_1 $ e $ x_2 $ no domínio com $ x_1 < x_2 $, temos $ f(x_1) \leq f(x_2) $. Ou seja, a função nunca desce conforme avançamos no eixo $ x $.

Passo 3

Agora, sendo $ f $ localmente monótona não-decrescente, isso quer dizer que, para qualquer ponto $ x_0 $ no intervalo $ I $, existe um pequeno intervalo ao redor de $ x_0 $ onde $ f $ é monótona não-decrescente. Vamos usar isso para mostrar que $ f $ é globalmente monótona não-decrescente em $ I $.

Passo 4

Vamos pegar dois pontos quaisquer $ a $ e $ b $ em $ I $ com $ a < b $. Nosso objetivo é provar que $ f(a) \leq f(b) $.

Passo 5

Como $ I $ é um intervalo, podemos dividir o caminho de $ a $ a $ b $ em vários pequenos intervalos onde $ f $ é monótona não-decrescente. Isso é possível porque $ f $ é localmente monótona não-decrescente em cada ponto do intervalo.

Passo 6

Em cada um desses pequenos intervalos, temos que $ f $ não diminui. Então, ao passar de um intervalo para o próximo, o valor de $ f $ nunca diminui, garantindo que $ f(b) $ seja pelo menos igual a $ f(a) $.

Passo 7

Assim, mostramos que para quaisquer $ a < b $ em $ I $, $ f(a) \leq f(b) $, o que significa que $ f $ é monótona não-decrescente em todo o intervalo $ I $.

Resposta

Portanto, $ f $ é monótona não-decrescente em todo o intervalo $ I $.

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