Seja f uma função localmente constante num intervalo I, isto é, qualquer que seja a in I, existe uma vizinhança de a onde f é constante. Supondo ainda que essa função seja contínua em I, prove que ela é constante em todo esse intervalo.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que uma função $ f $ que é localmente constante em um intervalo $ I $ e contínua em $ I $ é, na verdade, constante em todo o intervalo. Isso envolve conceitos de análise matemática, especificamente sobre continuidade e comportamento de funções em intervalos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser localmente constante e como a continuidade influencia esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função $ f $ ser localmente constante em $ I $. Isso quer dizer que, para qualquer ponto $ a $ no intervalo $ I $, conseguimos encontrar uma vizinhança ao redor de $ a $ onde a função $ f $ não muda de valor; ou seja, $ f $ é constante nessa vizinhança.

Passo 3

Agora, sabemos que a função $ f $ é contínua em todo o intervalo $ I $. A continuidade é uma propriedade que garante que pequenos movimentos na entrada (no $ x $) resultem em pequenos movimentos na saída (no $ f(x) $), sem saltos abruptos.

Passo 4

Vamos imaginar que $ I $ é um intervalo real, como I . Como $ I $ é um intervalo real, ele é conexo, o que significa que não há “pulos” ou descontinuidades no intervalo.

Passo 5

Sabendo que $ f $ é localmente constante, para cada ponto $ a $ em $ I $, existe uma vizinhança ao redor de $ a $ onde $ f $ é constante. Vamos chamar esse valor constante de $ c_a $.

Passo 6

Agora, vamos usar a continuidade de $ f $. Se $ f $ mudasse de valor em algum ponto do intervalo, haveria uma transição entre diferentes valores, o que violaria a localmente constância ou a continuidade. Mas como $ f $ é contínua e localmente constante em todo o intervalo, não há espaço para essas transições.

Passo 7

Portanto, se não há como $ f $ mudar de valor sem quebrar a continuidade ou a localmente constância, concluímos que $ f $ deve manter o mesmo valor em todo o intervalo $ I $.

Resposta

A função $ f $ é constante em todo o intervalo $ I $.

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