Seja f uma função contínua. Mostre que y(x)=y0+integrala^x f(t) d t é uma solução para a equação diferencial y^prime(x)=f(x) com condição inicial y(a)=y0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua e precisa mostrar que a função resolve a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo integral e diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição inicial. Isso significa que quando y(a) = y0 + integrala^a f(t) , dt , o valor de deve ser igual a . Vamos substituir por na expressão de :

Passo 3

A integral de qualquer função de y(a) = y0 + 0 = y0 até é zero, porque não há área sob a curva. Então:
Então, a condição inicial está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que y(x) = y0 + integrala^x f(t) , dt satisfaz a equação diferencial . Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 5

A derivada de y'(x) = 0 + ddx ( integrala^x f(t) , dt ) em relação a é zero, pois é uma constante. Então, resta derivar a integral:

Passo 6

Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de uma integral de y'(x) = f(x) até de dt é simplesmente . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que satisfaz tanto a condição inicial quanto a equação diferencial . Portanto, é realmente uma solução para a equação dada.

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